卡塔兰常数

卡塔兰常数 G,是一个偶尔出现在组合数学中的常数,定义为:

卡塔兰常数
识别
符号
位数数列编号OEISA006752
性质
定义
表示方式
0.915965594
二进制0.111010100111110010111000
八进制0.724762704764023272042441
十进制0.915965594177219015054603
十六进制0.EA7CB89F409AE845215822E3

其中β是狄利克雷β函数英语Dirichlet_beta_function。它的值大约为:[1]

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

目前还不知道G有理数还是无理数

积分恒等式

一些恒等式包括:

 
 
 

还有

 

其中 是第一类完全椭圆积分

 

应用

G出现在组合数学中,也出现在第二多伽玛函数(也称为三伽玛函数)的值中。

 
 

Simon Plouffe给出了无穷多个含有三伽玛函数、 和卡塔兰常数的恒等式。

快速收敛级数

以下两个级数收敛得很快,可以用于计算卡塔兰常数的值:

   
 

以及

 

已知的位数

已知的位数
日期 位数 计算者
2009年4月16日 31,026,000,000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[2]
2009年1月31日 15,510,000,000 Alexander J. Yee & Raymond Chan[2]
2008年8月 10,000,000,000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[3]
2006年10月 5,000,000,000 Shigeru Kondo[4]
2002年 201,000,000 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2001年 100,000,500 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
1998年1月4日 12,500,000 Xavier Gourdon
1997年 3,379,957 Patrick Demichel
1996年 1,500,000 Thomas Papanikolaou
1996年9月29日 300,000 Thomas Papanikolaou
1996年8月14日 100,000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996年 50,000 Greg J. Fee
1990年 20,000 Greg J. Fee
1913年 32 James W. L. Glaisher
1877年 20 James W. L. Glaisher

参考文献

  1. ^ Sconosciuto. Catalan's Constant to 1,500,000 Places. CAIMAN. (原始内容存档于2009-09-24). 
  2. ^ 2.0 2.1 Large Computations. [2009-08-17]. (原始内容存档于2009-12-09). 
  3. ^ Constants and Records of Computation. [2009-08-17]. (原始内容存档于2011-01-15). 
  4. ^ Shigeru Kondo的网站. [2008-07-08]. (原始内容存档于2008-02-11).