数学 上，分离变数法 是一种解析常微分方程 或偏微分方程 的方法。使用这方法，可以藉代数 来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变数，而剩馀部分则跟此变数无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和 等于零。
给予一个
n
{\displaystyle n}
F
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})}
偏微分方程 ，有时候，为了将问题的偏微分方程式改变为一组常微分方程 ，可以猜想一个解答；解答的形式为
F
=
F
1
(
x
1
)
F
2
(
x
2
)
⋯
F
n
(
x
n
)
{\displaystyle F=F_{1}(x_{1})F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})}
或者
F
=
f
1
(
x
1
)
+
f
2
(
x
2
)
+
⋯
+
f
n
(
x
n
)
{\displaystyle F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n})}
时常，对于每一个自变量
x
i
{\displaystyle x_{i}}
分离常数 。如果，这个方法成功，则称这偏微分方程为可分偏微分方程 (separable partial differential equation )。
假若，函数
F
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle F(x,\ y,\ z)}
∂
F
∂
x
+
∂
F
∂
y
+
∂
F
∂
z
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0}
猜想解答为
F
(
x
,
y
,
z
)
=
X
(
x
)
+
Y
(
y
)
+
Z
(
z
)
{\displaystyle F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)}
那么，
d
X
d
x
+
d
Y
d
y
+
d
Z
d
z
=
0
{\displaystyle {\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0}
因为
X
(
x
)
{\displaystyle X(x)}
x
{\displaystyle x}
Y
(
y
)
{\displaystyle Y(y)}
y
{\displaystyle y}
Z
(
z
)
{\displaystyle Z(z)}
z
{\displaystyle z}
d
X
d
x
=
c
1
{\displaystyle {\frac {dX}{dx}}=c_{1}}
d
Y
d
y
=
c
2
{\displaystyle {\frac {dY}{dy}}=c_{2}}
d
Z
d
z
=
c
3
{\displaystyle {\frac {dZ}{dz}}=c_{3}}
其中，
c
1
,
c
2
,
c
3
{\displaystyle c_{1},\ c_{2},\ c_{3}}
c
1
+
c
2
+
c
3
=
0
{\displaystyle c_{1}+c_{2}+c_{3}=0}
偏微分方程的答案为
F
(
x
,
y
,
z
)
=
c
1
x
+
c
2
y
+
c
3
z
+
c
4
{\displaystyle F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}}
其中，
c
4
{\displaystyle c_{4}}
思考一个典型的偏微分方程，
∇
2
v
+
λ
v
=
∂
2
v
∂
x
2
+
∂
2
v
∂
y
2
+
λ
v
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}v+\lambda v={\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}+\lambda v=0}
首先，猜想答案的形式为
v
=
X
(
x
)
Y
(
y
)
{\displaystyle v=X(x)Y(y)}
代入偏微分方程，
∂
2
∂
x
2
[
X
(
x
)
Y
(
y
)
]
+
∂
2
∂
y
2
[
X
(
x
)
Y
(
y
)
]
+
λ
X
(
x
)
Y
(
y
)
=
0
{\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0}
或者，用单撇号标记，
X
″
(
x
)
Y
(
y
)
+
X
(
x
)
Y
″
(
y
)
+
λ
X
(
x
)
Y
(
y
)
=
0
{\displaystyle X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0}
将方程式的两边除以
X
(
x
)
Y
(
y
)
{\displaystyle X(x)Y(y)}
X
″
(
x
)
X
(
x
)
=
−
Y
″
(
y
)
+
λ
Y
(
y
)
Y
(
y
)
{\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}}
由于任何一边的表达式跟另外一边的变数无关，表达式恒等于常数
k
{\displaystyle k}
X
″
(
x
)
X
(
x
)
=
k
=
−
Y
″
(
y
)
+
λ
Y
(
y
)
Y
(
y
)
{\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=k=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}}
因此，可以得到两个新的常微分方程式：
X
″
(
x
)
−
k
X
(
x
)
=
0
{\displaystyle X''(x)-kX(x)=0}
Y
″
(
y
)
+
(
λ
+
k
)
Y
(
y
)
=
0
{\displaystyle Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0}
这两个常微分方程式都是齐次的二阶线性微分方程 。假若，
k
<
0
<
λ
+
k
{\displaystyle k<0<\lambda +k}
谐振问题 的方程式。解答为
X
(
x
)
=
A
x
cos
(
−
k
x
+
B
x
)
{\displaystyle X(x)=A_{x}\cos({\sqrt {-k}}\ x+B_{x})}
Y
(
y
)
=
A
y
cos
(
λ
+
k
y
+
B
y
)
{\displaystyle Y(y)=A_{y}\cos({\sqrt {\lambda +k}}\ y+B_{y})}
其中，
A
x
,
A
y
{\displaystyle A_{x},\ A_{y}}
B
x
,
B
y
{\displaystyle B_{x},\ B_{y}}
边界条件 求得。
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 。 
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)[h(f(x))]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1584f1eb42efb04ef49ca93b2c822f07527362)
![{\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884091d608a02bfdd2e96e50739e8b9c7db28fc5)
