佩特诺-伊曼-道格拉斯定理

佩特-诺伊曼-道格拉斯定理Petr–Douglas–Neumann theorem)也称为PDN定理,是几何学中有关平面多边形的定理。此定理证明,对于任何多边形,都可以依定理中的作法找到一正多边形,其边数恰和原来的多边形相同。佩特诺-伊曼-道格拉斯定理最早是由卡瑞尔·佩特诺英语Karel Petr(1868–1950)1908年在布拉格提出[1][2]。1940年及1941年时也分别被杰西·道格拉斯(1897–1965)[3]伯恩哈德·诺伊曼英语Bernhard Neumann(1909–2002)[2][4]独立证明。此定理由Stephen B Gray命名为佩特-诺伊曼-道格拉斯定理,或简称为PDN定理[2],有时也被称为道格拉斯定理道格拉斯-诺伊曼定理诺伊曼-道格拉斯-佩特定理佩特定理[2]

定理叙述

佩特-诺伊曼-道格拉斯定理的叙述如下[3][5]

若一任意的n边形A0,每边上往外画顶角为2kπ/n(1 ≤ k ≤ n − 2)的等腰三角形,再针对各等腰三角形的顶角形成的n边形再进行类似的作法,但需用不同的数字k,一直用到用完所有满足1 ≤ k ≤ n − 2的数值为止(可以不依大小顺序),最后形成的n边形An−2会是正多边形,且其形心和原n边形A0的形心重合。

应用在三角形中的特例

 
拿破仑定理是佩特诺-伊曼-道格拉斯定理的特例

在三角形的情形下,n为3,而n −2为1。因此只存在一个可能的k值,也就是1。此定理应用在三角形时,三角形A1正三角形

A1是由三角形A0的每一边往外画顶角为2π/3的等腰三角形,其顶点连线而成的三角形。三角形A1 的顶点也就是三角形A0的每一边往外画正三角形的重心。因此佩特-诺伊曼-道格拉斯定理应用在三角形中的特例可以表示如下:

任意三角形的三边往外画正三角形,三个正三角形的重心形成的三角形也会是正三角形

上述的叙述也就是拿破仑定理

参考资料

  1. ^ K. Petr. Ein Satz ¨uber Vielecke. Arch. Math. Physik. 1908, 13: 29–31. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Stephen B. Gray. Generalizing the Petr–Douglas–Neumann Theorem on n-gons (PDF). American Mathematical Monthly: 210–227. [8 May 2012]. (原始内容存档 (PDF)于2018-07-21). 
  3. ^ 3.0 3.1 Douglas, Jesse. On linear polygon transformations (PDF). Bulletin of American Mathematical Society. 1946, 46 (6) [7 May 2012]. (原始内容存档 (PDF)于2020-10-28). 
  4. ^ B H Neumann. Some remarks on polygons. Journal of London Mathematical Society. 1941, s1–16 (4): 230–245 [7 May 2012]. (原始内容存档于2016-12-24). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. (编). Petr–Neumann–Douglas Theorem.. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [8 May 2012]. (原始内容存档于2020-03-18) (英语).