代数独立

在抽象代数里，一个体$L$的子集$S$若被称做代数独立于一子体$K$的话，表示$S$内的元素都不符合系数包含在$K$内的非平凡多项式。这表示任何以$S$内元素排成的有限序列$\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}$（没有两个是一样的）和任一系数包含在$K$的非零多项式$P(x_{1},\cdots ,x_{n})$，都会得到：

$P(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\neq 0$

特别的是，单元素集合$\{\alpha \}$若是代数独立于$K$的话，若且唯若$\alpha$会是$K$内的超越数或超越函数。一般而言，和于$K$代数独立集合的所有元素也必然会是$K$内的超越数或超越函数，但反之则不必然。

举例来说，实数$\mathbb {R}$的子集$\{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}$并不代数独立于有理数$\mathbb {Q}$，当存在一非零多项式：

$P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$

$x_{1}$代入${\sqrt {\pi }}$和$x_{2}$代入$2\pi +1$时会变成$0$。

林德曼-魏尔斯特拉斯定理时常用做证明某些函数会代数独立于有理数：当$\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}$为线性独立于有理数的代数数时，${\mbox{e}}^{\alpha _{1}},\cdots ,{\mbox{e}}^{\alpha _{n}}$便会代数独立于有理数。

现在依然没有证明出集合$\{\pi ,{\mbox{e}}\}$是否代数独立于有理数。Nesterenko在1996年证明了$\{\pi ,{\mbox{e}}^{\pi },\Gamma (1/4)\}$是代数独立于有理数的。

给定一体扩张$L/K$，我们可以利用佐恩引理来证明总是存在一$L$的最大代数独立子集于$K$。甚至，所有个最大代数独立子集都会有相同的基数，称之为此一体扩张的超越次数。