三角函数精确值

三角函数精确值是利用三角函数的公式将特定的三角函数值加以化简,并以数学根式分数表示。

根式分数表达的精确三角函数有时很有用,主要用于简化的解决某些方程式能进一步化简。

根据尼云定理,有理数度数的角的正弦值,其中的有理数仅有0,,±1。

相同角度的转换表
角度单位
角度
弧度
梯度

计算方式

基于常识

例如:0°、30°、45°

 
单位圆

经由半角公式的计算

例如:15°、22.5°

 
 

利用三倍角公式求 

例如:10°、20°、7°......等等,非三的倍数的角的精确值。

  •  
  •  

把它改为

  •  
  •  

 当成未知数, 当成常数项 解一元三次方程式即可求出

例如: 

同样地,若角度代未知数,则会得到三分之一角公式

经由欧拉公式的计算

  •  
  •  

例如:

 
 
 [1]

经由和角公式的计算

例如:21° = 9° + 12°

 
 

经由托勒密定理的计算

 
Chord(36°) = a/b = 1/φ, 根据托勒密定理

例如:18°

根据托勒密定理,在圆内接四边形ABCD中,

 
 
 
 
 

三角函数精确值列表

由于三角函数的特性,大于45°角度的三角函数值,可以经由自0°~45°的角度的三角函数值的相关的计算取得。

0°:根本

 
 
 

1°:2°的一半

 
 [2]

1.5°:正一百二十边形

 
 

1.875°:正九十六边形

 
 
 

2°:6°的三分之一

 
 
 
 
 
 

2.25°:正八十边形

 
 
 
 
 
 

2.8125°:正六十四边形

 
 

3°:正六十边形

 
 
 

3.75°:正四十八边形

 
 

4°:12°的三分之一

 
 
 
 
 
 

4.5°:正四十边形

 
 

5°:15°的三分之一、正三十六边形

 

5.625°:正三十二边形

 
 

6°:正三十边形

 
 
 
 
 
 

7.5°:正二十四边形

 
 
 
 
 
 

9°:正二十边形

 
 
 
 

10°:正十八边形

 

11.25°:正十六边形

 
 
 
 

12°:正十五边形

 
 
 

15°:正十二边形

 
 
 
 

18°:正十边形

 
 
 

20°:正九边形、60°的三分之一

 
 
 
 

21°:9°与12°的和

 
 
 

360/17°,  :正十七边形

 

22.5°:正八边形

 
 
 

24°:12°的二倍

 
 
 

180/7°,  :正七边形

 

27°:12°与15°的和

 
 
 

30°:正六边形

 
 
 

33°:15°与18°的和

 
 
 
 

36°:正五边形

 
 
 

39°:18°与21°的和

 
 
 

42°:21°的2倍

 
 
 
 
 
 

45°:正方形

 
 
 

48°

 

54°:27°与27°的和

 
 
 
 

60°:等边三角形

 
 
 
 

67.5°:7.5°与60°的和

 
 
 
 

72°:36°的二倍

 
 
 
 

75°: 30°与45°的和

 
 
 
 

81°

 

90°:根本

 
 
 

列表

在下表中, 虚数单位 

       
1      
2      
3      
4      
5      
6      
7    
8      
9  
10      
11
12      
13
14      
15      
16      
17    
18    
19
20      
21
22
23
24      

相关

参见

参考文献

注释

  1. ^ Wolfram Alpha验算:[1]页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ 使用Mathematica验算,代码为N[ArcSin[(1 + Sqrt[3] I)/16 Power[4 Sqrt[30] - 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] + 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] - 4 Sqrt[2] + (4 Sqrt[30] + 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] - 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] + 4 Sqrt[2]) I, (3)^-1] + (1 - Sqrt[3] I)/16 Power[4 Sqrt[30] - 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] + 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] - 4 Sqrt[2] - (4 Sqrt[30] + 8 Sqrt[15 + 3 Sqrt[5]] + 8 Sqrt[5 + Sqrt[5]] - 4 Sqrt[10] - 4 Sqrt[6] + 4 Sqrt[2]) I, (3)^-1]], 100]/Degree结果为1与原角度无误差