庞加莱对偶性

数学上，庞加莱对偶定理是流形的同调及上同调群的结构的基本定理，以昂利·庞加莱命名。这定理说若M是n维有向闭流形（即紧致且无边界），则M的第k阶上同调群同构于M的第(n − k)阶同调群。对所有整数k

$H^{k}(M)\cong H_{n-k}(M).$

庞加莱对偶定理于任何系数环都成立，只需在流形上相对于系数环而取定向。特别是由于流形于模2都有唯一定向，故于模2时庞加莱对偶定理不需假设定向就成立。

历史

庞加莱对偶定理的一个形式最初由庞加莱于1893年提出，没有证明。当时他用贝蒂数来表达：一个n维可定向闭流形的第k个和第(n − k)个贝蒂数相等。其时未有上同调的概念，须待四十年后才得以厘清。庞加莱在1895年的论文《Analysis Situs》中尝试用他创造的拓扑相交理论去证明定理。波尔·赫高对这篇论文的批评，令庞加莱发现他的证明有重大错误。庞加莱在论文的附录首两篇中，用对偶三角剖份给出新证明。

直至1930年代上同调概念出现，庞加莱对偶定理的现代形式才出现。爱德华·切赫和哈斯勒·惠特尼发明了杯积和笠积，用这些新概念表达庞加莱对偶定理。

现代形式

庞加莱对偶定理的现在形式是以同调和上同调给出：若M是闭有向n-流形，k是整数，则有从第k阶上同调群H^k(M)到第(n − k)阶同调群H_n − k(M)的典范同构。（此处的同调和上同调取整数环为系数，但这个同构对任何系数环都成立。）更确切而言，这个同构将H^k(M)的元素，映射到这个元素与M的一个基本类的杯积，而有向流形M都存在基本类。

对非紧致有向流形，需把上同调用紧支上同调代替。

负数阶的同调和上同调群定义为零，所以庞加莱对偶性推导出闭有向n-流形大于n阶的同调和上同调群是零。

深入阅读

• Blanchfield, R. C., Intersection theory of manifolds with operators with applications to knot theory, Annals of Mathematics, 1957, 65 (2): 340–356, JSTOR 1969966 
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph, Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: Wiley, 1994, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 

外部链接

• Intersection form （页面存档备份，存于互联网档案馆） at the Manifold Atlas
• Linking form （页面存档备份，存于互联网档案馆） at the Manifold Atlas