维克里-克拉克-格罗夫斯机制

维克里-克拉克-格罗夫斯机制（英语：Vickrey–Clarke–Groves mechanism）简称VCG机制，是机制设计中实现社会最优解的通用真实机制，该机制是维克里-克拉克-格罗夫斯拍卖的泛化。VCG拍卖的任务只是在一群人中分配物品，VCG机制比VCG拍卖更具有普适性，它能用于在可行结果的集合中选择任何结果。

表示符号

$X$表示所有可行解的集合。

有$n$个参与者，它们对每个结果有不同的估价。参与者$i$对结果估值的函数可以表示为：

$v_{i}:X\longrightarrow R_{+}$

该函数用金钱表示了代理人对每一种结果的估值。

假设参与者具有拟线性效用函数；这意味着，如果结果是$x$，加上参与者收到的报酬$p_{i}$（如果是代价则为负），则参与者$i$的总效用为：

$u_{i}:=v_{i}(x)+p_{i}$

我们的目标是选择一个结果，使价值的总和最大化，即：

$x^{opt}(v)=\arg \max _{x\in X}\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$

换句话说，我们的社会选择函数完全是基于功利主义的。

解族

VCG族是一个实现功利福利函数的机制族。在VCG族中，有一种典型的机制是这样工作的：

1.该机制需要参与者提供它们的估值函数，比如说每个参与者$i$都需要提供$v_{i}(x)$，$x$是每一个选择。

2.根据参与者所提供的估值，$v$，用公式$x^{*}=x^{opt}(v)$求最佳解。

3.该机制给每个参与者$i$一笔等于其他参与者总估值的钱：

$p_{i}:=\sum _{j\neq i}v_{j}(x^{*})$

4该机制再给每个参与者$i$一笔基于任意函数$h_{i}$和其他参与者估值的钱：

$p_{i}+=h_{i}(v_{-i})$

其中$v_{-i}=(v_{1},\dots ,v_{i-1},v_{i+1},\dots ,v_{n})$，任意函数$h_{i}$是一个只依赖于对其他参与者的估值的函数。

真实性

所有的VCG机制都是真实机制，也就是说参与者在这类机制中会选择给出真实的估价。

克拉克枢轴规则

函数$h_{i}$是该机制的参数。$h_{i}$的每一个选择都会在VCG解族中产生不同的机制。

我们可以举这样一个例子：

$h_{i}(v_{-i})=0$

但是这样一来我们需要付钱给参与竞拍的人，我们原本的计划是从竞拍者那里收钱。

经过调整后的函数是：

$h_{i}(v_{-i})=-\max _{x\in X}\sum _{j\neq i}v_{j}(x)$

这就是所谓的克拉克枢轴规则，在这一规则之下，竞拍者$i$所需付的钱是：

（竞拍者$i$不在时拍卖产生的社会总福利）-（竞拍者$i$在时拍其他人的社会福利之和）

这就是竞拍者$i$所产生的外部性。