正则量子化

物理学中,正则量子化是多种对经典理论进行量子化数学方法中的一种;在对经典场论进行量子化时,又称二次量子化。“正则”这个词其实源自经典理论,指的是理论中一种特定的结构(称作辛结构(Symplectic structure)),这样的结构在量子理论中也被保留。这在保罗·狄拉克尝试建构量子场论时由他首先强调。

普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。但在相对论量子力学中,粒子可以产生和湮没,普通量子力学的数学表述方法不再适用。二次量子化通过引入产生算符湮没算符处理粒子的产生和湮没,是建立相对论量子力学量子场论的必要数学手段。相比普通量子力学表述方式,二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子对称性反对称性,所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中,也被广泛应用。

为何称作“正则”?

“正则”(canonical)具有“标准”的意思,此一称呼是因为此方法与源于经典力学经典场论方法有强烈的关联。在经典场论中,场φ(x, t)动力学变数,在每个时空点x, t都有值。若将之视为正则坐标,则正则动量为φ的空间导数。在经典动力学中,这些量所组成的泊松括号应该为一。在量子力学中,正则坐标与正则动量都变成了算符,而泊松括号变成了对易子或反对易子。运用到这样关系的量子化即为正则量子化。

量子化的数学形式

多粒子态

在二次量子化的表述中,多粒子态简单的以标记每个量子态上有多少个粒子来表示:

 

即“量子态1上有n1个粒子,量子态2上有n2个粒子,量子态3上有n3个粒子,……”

玻色子的二次量子化

湮没算符

 

产生算符

 

对易关系

 

费米子的二次量子化

湮没算符

 
 

产生算符

 
 

反对易关系

 

场算符

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