极大与极小元
数学分支序理论中,预序集子集的极大元(英语:maximal elements)不小于的任何元素。极小元(minimal elements)可对偶地定义,其不大于的任何元素。
极大和极小的条件比最大和最小弱。预序集的子集的最大元需要“大于或等于”的全体元素(最小元同样为其对偶),极大元则只需“不小于”(例如不可比较)。若将预序集限缩至偏序集,则至多只有一个最大元和一个最小元,但极大、极小元皆可有多于一个。[1][2]但在全序集上,最大等价于极大,最小亦等价于极小。
以集族
为例,其上的偏序为包含关系。当中极小,因为不包含族中任何其他集合,反之极大,因为不被其他集合包含。则既非极小亦非极大,但同时为极小、极大。相比之下,无最大元和最小元。
定义
设 为预序集,又设 ,则 中关于 的极大元定义为满足以下性质的元素 :
- 若有 使 则必有
与之类似, 中关于 的极小元是满足以下性质的元素 :
- 若有 使 则必有
等价地,亦可将 关于 的极小元定义为 关于 的极大元,其中对任意 , 当且仅当 。
若无明示子集 ,则所谓极大元预设是 的极大元。
若预序集 实为偏序集[注 1],或者限缩到 是偏序集,则 为极大当且仅当 无严格较 大的元素。换言之,不存在 使 及 将本段的 号一律换成 就得到极小元的描述。
存在性
极大/极小元不必存在。
但在某些情况下,极大/极小元保证存在。
唯一性
此章节需要扩充。 |
极大/极小元不必唯一。
各领域例子
- 帕累托效率中,“帕累托最优”的状态即是帕累托改善偏序下的极大元,此类极大元的集合又称为“帕累托前缘”(Pareto frontier)。
- 决策论中,可容决策规则是优势偏序下的极大元。
- 现代投资组合理论中,风险(以低为优)与回报(以高为优)的积序[注 2]下,极大元称为效率投资组合(efficient portfolio),组成的集合则为效率前缘。
- 集合论中,某集合为有限当且仅当其任意非空子集族(以包含关系为偏序)皆有极小元。[注 3]
- 抽象代数中,需要将最大公因数的概念推广为极大公因子,因为某些数系中,若干个元素的公因子集合可能有多于一个极大元(整除意义下)。
- 计算几何中,点集的极大元是逐分量比较[注 2]下的极大元。
注
参考文献
- ^ Richmond, Bettina; Richmond, Thomas, A Discrete Transition to Advanced Mathematics, American Mathematical Society: 181, 2009, ISBN 978-0-8218-4789-3.
- ^ Scott, William Raymond, Group Theory 2nd, Dover: 22, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8
- ^ Jech, Thomas. The Axiom of Choice. Dover Publications. 2008 [originally published in 1973]. ISBN 978-0-486-46624-8.