柯尔莫果洛夫空间

拓扑学和相关的数学分支中,T0空间,又称柯尔莫哥洛夫空间(英语:T0 space 或 Kolmogorov space),以数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫命名,定义了一类广泛地表现良好的拓扑空间。T0 条件是分离公理之一。

定义

拓朴空间 T0空间当且仅当对所有相异的 且,存在开集合 使得  [1]

T0 空间中所有相异点对都是拓扑可区分的。也就是说,对于任何两个相异的点  ,存在一个正好只包含两点之一的开集

注意拓扑可区分的点都是相异的。另一方面,如果单元素集合  分离的,则点  必为拓扑可区分的。也就是说:

  “分离”  “拓扑可区分” 

拓扑可区分的条件一般强于相异的条件,但要弱于可分离的条件。

T0 空间中,第二个箭头可以反转:两点相异当且仅当它们是拓朴可区分的。

例子和反例

在数学中经常研究的几乎所有拓扑都是 T0 的。例如所有豪斯多夫空间T1 空间都是 T0 的。

非 T0 空间

  • 在带有密着拓扑的多元素集合中,没有点是拓扑可区分的。
  • 特定拓扑中的 集合。其中开集都是 的开集和 自身的笛卡尔乘积的形式( ),即 的平常拓扑和 的密着拓扑的乘积空间;该拓扑中,点  是不可区分的。(注意:  中的元素,而非 的开区间)
  • 实直线 复平面 可测函数 的空间,使得   在整个实直线上的勒贝格积分有限的。此空间中几乎处处相等的两个函数是不可区分的。

T0 但非 T1 空间

  • 交换环 R素环谱 Spec(R) 上的 Zariski拓扑总是 T0 但一般不是 T1。非闭合点对应于不是极大理想素理想。它们对于理解概形是重要的。
  • 在带有至少两个元素的任何集合上的特定点拓扑是 T0 但不是 T1,因为特定点不是闭合的(它的闭包是整个空间)。一种重要特殊情况是在集合 {0,1} 上的特定点拓扑的谢尔宾斯基空间
  • 在带有至少两个元素的任何集合上的排斥点拓扑是 T0 但不是 T1。唯一闭合点是排斥点。
  • 偏序集合上的Alexandrov拓扑是 T0 但不是 T1 除非这个次序是离散的(一致于相等性)。所有有限 T0 空间都是这种类型的。这还包括特定点和排斥点拓扑作为特殊情况。
  • 全序集合上的右序拓扑是有关的例子。
  • 重叠区间拓扑类似于特定点拓扑,因为所有开集都包括 0。
  • 非常一般的说,拓扑空间 X 是 T0 的,当且仅当在 X 上的特殊化预序偏序。但是,X 将是 T1 的,当且仅当这个次序是离散的(一致于相等性)。所以空间将是 T0 但不是 T1,当且仅当在 X 上的这个特殊化预序是非离散偏序。

操作 T0 空间

典型研究的拓扑空间的例子是 T0。实际上,当数学家在很多领域特别是数学分析中,偶尔遇到非T0 空间的时候,它们通过以如下方式把它替代为 T0 空间。为了激发涉及到的想法,考虑周知的例子。L2(R) 空间是从实直线 R复平面 C可测函数的空间,它使得 |f(x)|2 在整个实直线上的勒贝格积分有限的。这个空间应当通过定义范数 ||f|| 为这个积分的平方根来变成赋范向量空间。问题是这不是实际上的范数,只是半范数,因为有除了零函数之外有(半)范数为零的函数。标准解决是定义 L2(R) 为函数的等价类集合而不是直接的函数集合。这种构造了最初半赋范向量空间的商空间,而这个商是赋范向量空间。它从半赋范空间继承了一些方便的性质。

一般的说,在处理集合 X 上一个固定拓扑 T 的时候,如果这个拓扑是 T0 将是有帮助的。换句话说,在 X 是固定而 T 允许在特定边界内变化的时候,强迫 T 是 T0 将是不方便的,因为非 T0 拓扑经常是重要的特殊情况。因此,区分可以放置在拓扑空间上的各种条件的 T0 和非 T0 版本二者是重要的。

柯尔莫哥洛夫商空间

点与点之间的拓扑不可区分性是一种等价关系。对任意拓扑空间 ,通过考虑此等价关系给出的商空间总是T0空间。这个商空间叫做 柯尔莫果洛夫商空间,写作KQ( )。如果 本身已经是T0空间,则 KQ( )和 自然同胚

绝对的说,柯尔莫果洛夫空间是拓扑空间的反射子范畴,而柯尔莫果洛夫商是反射子。

拓扑空间  的柯尔莫果洛夫商同胚时,  被称为柯尔莫果洛夫等价的。这种等价性保留很多拓扑空间的性质(如连通性,紧致性);就是说,如果  柯尔莫果洛夫等价,则 有某种性质当且仅当 也有。

另一方面,许多拓扑空间的性质蕴涵了 T0 性;就是说如果 有这种性质,则 必定是 T0的。只有很少性质比如“ 不可分空间”,是这个经验规则的例外(此条件不蕴涵 T0 性)。

更为理想地,在拓扑空间上定义的很多结构都可在 和 KQ( ) 之间转移。结果就是如果你有带有特定结构或性质的非 T0 拓扑空间,则你通常可通过选取柯尔莫果洛夫商来形成带有相同结构或性质的 T0 空间。

L2(R) 的例子展示了这些特征。从拓扑学的角度,这个半赋范向量空间有很多额外的结构;例如,它是向量空间,并有半范数,并且这些定义了相容于这个拓扑的伪度量一致结构。还有,这些结构有很多性质;例如半范数满足平行四边形恒等式而一致结构是完备的。这个空间不是 T0 的因为几乎处处相等的任何两个 L2(R) 的函数关于这个拓扑是不可区分的。当我们形成柯尔莫果洛夫商的时候,实际的 L2(R) 保持了这些结构和性质。因此,L2(R) 也是满足平行四边形恒等式的完备半赋范向量空间。但是我们实际上得到的要多了一点,因为这个空间现在是 T0 的。半范数是范数,当且仅当底层拓扑是 T0,所以 L2(R) 实际上是满足平行四边形恒等式的完备赋范向量空间 — 也叫做希尔伯特空间。它是数学家(和研究量子力学物理学家)一般都研究的希尔伯特空间。注意符号 L2(R) 通常指示柯尔莫果洛夫商,在测度零的集合上有所不同的平方可积函数的等价类的集合,而非符号所暗示的简单的是平方可积函数的向量空间。

去除 T0

你可能注意到了,尽管范数历史上定义在先,人们也提出了半范数的定义,它是范数的一种非 T0 版本。一般的说,可以定义拓扑空间的性质和结构二者的非 T0 版本。首先,考虑拓扑空间的一个性质,比如是豪斯多夫的性质。你可以定义另一个拓扑空间性质,通过定义空间 X 为满足这个性质,当且仅当柯尔莫果洛夫商 KQ(X) 是豪斯多夫的。这是一个明智的不太著名的性质,这种空间 X 被为预正则的。(甚至有预正则性的更直接的定义)。现在考虑可以放置到拓扑空间上一个结构,比如度量。我们可以通过设置在 X 上的结构简单的是在 KQ(X) 上的度量来定义一个新结构。有这种在 X 上的明智的结构,它就是伪度量。(伪度量也有更直接的定义)。

在这种方式下,有从性质或结构的要求中去除 T0 性的自然方式。研究 T0 的空间一般要容易些,但让非 T0 的结构得到漂洗后的对应者也是容易的。使用柯尔莫果洛夫商的概念可以任意的增加或去除 T0 要求。


参考来源

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). T0-Space. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2017-10-04]. (原始内容存档于2020-06-28) (英语). 


外部链接