时频分析的测不准原理

在信号分析中，信号的时间分布 $x(t)$ 与频率分布 $X(\omega )$之间是有关连的，如果其中一个是宽的，另一个必定是窄的，这是傅里叶变换的基本观念，同时也是物理学中测不准原理的精神。不论是物理学或是信号分析，测不准原理必须讨论两个变量之间的关系，且这两个变量在希尔伯特空间中必须是不可交换的运算子，而在信号分析当中，经常讨论的两个变量是时间与频率。

测不准原理在信号分析中的形式

基本形式的测不准原理

形式跟物理学一样，不过在此定义信号在时间与频率上的标准差:

$\sigma _{t}^{2}=\int (t-\langle t\rangle )^{2}|x(t)|^{2}dt$

$\sigma _{\omega }^{2}=\int (\omega -\langle \omega \rangle )^{2}|X(\omega )|^{2}dt$

其中 $\langle t\rangle$ 与 $\langle \omega \rangle$ 代表平均值，$x(t)$ 与 $X(\omega )$ 互为信号的傅里叶变换与逆变换，两者的标准差相乘就是测不准原理:

$\sigma _{t}\sigma _{\omega }\geq {\frac {1}{2}}$

由上式可知 $x(t)$ 与 $X(\omega )$ 不可能同时任意宽或任意窄。

推广形式的测不准原理

另外对一个信号的相位 $\phi (t)$ 作微分，可以得到该信号的瞬时频率 $\omega$。现在定义一个信号的协方差 $COV=\langle t\phi '(t)\rangle -\langle t\rangle \langle \omega \rangle$ ，在此讨论的协方差是看时间与频率有怎样的关系，若明显两者无关，则 $COV=0$ 。

有了协方差的概念，现在可以把测不准原理的形式推广至如下:

$\sigma _{t}\sigma _{\omega }\geq {\frac {1}{2}}$ ${\sqrt {1+4COV^{2}}}$

证明

假设信号的形式为 $x(t)=A(t)e^{j\phi (t)}$ 且能够被归一化。现在考虑一个新信号$x_{new}(t)$与一个旧信号$x_{old}(t)$，其中新信号的平均时间与平均频率皆为零，而旧信号与新信号的形状一样，但有特定的平均时间与平均频率，即:

$x_{old}(t)=e^{j\langle \omega \rangle t}x_{new}\left(t-\langle t\rangle \right)$

其中这个信号的带宽为:

$\sigma _{\omega }^{2}=\int |x'(t)|^{2}dt$

以及时间宽度为:

$\sigma _{t}^{2}=\int t^{2}|x(t)|^{2}dt$

两者相乘为:

$\sigma _{t}^{2}\sigma _{\omega }^{2}=\int |x'(t)|^{2}dt\times \int |tx(t)|^{2}dt$

现在考虑柯西-施瓦茨不等式,有:

$\int |f(x)|^{2}dx\int |g(x)|^{2}dx\geq \left|\int f^{*}(x)g(x)dx\right|^{2}$

若取 $f=tx(t)$ 且 $g=x'(t)$ 并搭配柯西-施瓦茨不等式就能把 $\sigma _{t}^{2}\sigma _{\omega }^{2}=\int |x'(t)|^{2}dt\times \int |tx(t)|^{2}dt$ 整理成:

$\sigma _{t}^{2}\sigma _{\omega }^{2}\geq \left|\int tx^{*}(t)x'(t)dt\right|^{2}$

上式中的被积分函数 $tx^{*}(t)x'(t)=tA'A+jt\phi '(t)A^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}tA^{2}-{\frac {1}{2}}A^{2}+jt\phi '(t)$

上式第一项是全微分，积分为零。第二项积分后是1/2，第三项积分后是j乘上一个信号的协方差。所以:

$\sigma _{t}^{2}\sigma _{\omega }^{2}\geq \left|-{\frac {1}{2}}+jCOV\right|^{2}={\frac {1}{4}}+COV^{2}$

上式就是信号分析当中推广形式的测不准原理，故得证。若把上式中的 $COV^{2}$ 略去，就能得到基本形式的测不准原理。

基本范例

最小测不准乘积信号

得到了测不准原理的形式，接下来的问题是:什么样的信号能得到乘积的最小值1/2?在推导过程中可以发现，在柯西-施瓦茨不等式当中的两个函数成正比时等号会成立，取 $g(x)=-cf(x)$ ，其中c是任意常数，所以得到

$-ctx(t)=x'(t)$

另外在测不准原理的推广形式中有协方差，为了消灭这一项，取 $c=c_{1}-jc_{2}$ 再代入上式可得到解为:

$x(t)=e^{-(c_{1}-jc_{2})t^{2}/2}$

在将上式代入协方差 $COV=\langle t\phi '(t)\rangle -\langle t\rangle \langle \omega \rangle$ 而有:

$COV=-\int tc_{2}t|x(t)|^{2}dt-\langle \omega \rangle \langle t\rangle =-c_{2}\int t^{2}e^{-c_{1}t^{2}}dt$

若能使上式为零，就能消灭协方差这一项，明显c必须是实数才能满足。若c取a/2，则信号为:

$x(t)=(a/\pi )^{\frac {1}{4}}e^{-at^{2}/2}$

上式信号的形式为平均时间与平均频率皆为零的状况，若信号为任一特定的平均时间与平均频率，则有:

$x(t)=(a/\pi )^{\frac {1}{4}}e^{-a(t-\langle t\rangle )^{2}/2+j\langle \omega \rangle t}$

上式就是高斯函数，高斯函数的时间宽度与带宽的乘积能达到最小，高斯函数也作为加伯变换的窗函数，在时频分析中具有重要的地位。

正弦波调制

现在对高斯函数进行正弦波调制，信号为 $x(t)=(a/\pi )^{\frac {1}{4}}e^{-at^{2}/2+jm\sin \omega _{m}t+j\omega _{0}t}$ ，其中有:

$\langle t\rangle ={\sqrt {\frac {a}{\pi }}}\int te^{-a(t-t_{0})^{2}}dt=t_{0}$

$\langle t^{2}\rangle ={\sqrt {\frac {a}{\pi }}}\int t^{2}e^{-a(t-t_{0})^{2}}dt=t_{0}^{2}+{\frac {1}{2a}}$

$\sigma _{t}^{2}=\langle t^{2}\rangle -\langle t\rangle ^{2}={\frac {1}{2a}}$

${\begin{aligned}\langle \omega \rangle &=\int \omega |X(\omega )|^{2}d\omega =\int x^{*}(t){\frac {1}{j}}{\frac {d}{dt}}x(t)dt\\&={\sqrt {\frac {a}{\pi }}}\int (jat+m\omega _{m}\cos \omega _{m}t+\omega _{0})e^{-at^{2}}dt\\&=m\omega _{m}e^{-\omega _{m}^{2}/4a}+\omega _{0}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\langle \omega ^{2}\rangle &=\int \omega ^{2}|X(\omega )|^{2}d\omega \\&=\int x^{*}(t)\left({\frac {1}{j}}{\frac {d}{dt}}\right)^{2}x(t)dt\\&=\int \left|{\frac {d}{dt}}x(t)\right|^{2}dt\\&={\frac {a}{2}}+\omega _{0}^{2}+2m\omega _{m}\omega _{0}e^{-\omega _{m}^{2}/4a}+{\frac {m^{2}\omega _{m}^{2}}{2}}\left(1+e^{-\omega _{m}^{2}/a}\right)\end{aligned}}$

$\sigma _{\omega }^{2}=\langle \omega ^{2}\rangle -\langle \omega \rangle ^{2}={\frac {a}{2}}+{\frac {m^{2}\omega _{m}^{2}}{2}}\left(1-e^{-\omega _{m}^{2}/2a}\right)^{2}$

${\begin{aligned}\sigma _{t}\sigma _{\omega }&={\sqrt {\frac {1}{2a}}}{\sqrt {{\frac {a}{2}}+{\frac {m^{2}\omega _{m}^{2}}{2}}\left(1-e^{-\omega _{m}^{2}/2a}\right)^{2}}}\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {m^{2}\omega _{m}^{2}}{a}}\left(1-e^{-\omega _{m}^{2}/2a}\right)^{2}}}\end{aligned}}$

上式就是高斯函数加入正弦波调制后的测不准乘积。

短时傅里叶变换的测不准原理

人们研究信号特性经常使用的方法是在考虑的时间范围内只取一小段信号来分析，并且先忽略其他部分，还可以对那一小段的信号进行傅里叶变换来计算那段时间的频率，这样的信号处理方式就叫作短时傅里叶变换。现在就来分析这一小段时间的测不准原理与原信号有什么关系?以及有什么样的性质。

为了理解短时傅里叶变换，先定义原信号$x(t)$在极短时间内的形式，可以考虑一个窗函数乘上考虑的时间t的范围，而且这个窗函数在时间t附近达到最大值，然后急速下降。所以用以下的方程式来定义短时间信号:

$\eta _{t}(\tau )={\frac {x(\tau )h(\tau -t)}{\sqrt {\int |x(\tau )h(\tau -t)|^{2}d\tau }}}$

上式中的$h(t)$是窗函数，t为考虑的固定时间，$\tau$为执行时间。另外还让上式归一化:

$\int |\eta _{t}(\tau )|^{2}d\tau =1$

现在让这样的短时间信号作傅里叶变换:

$F_{t}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int e^{-j\omega \tau }\eta _{t}(\tau )d\tau$

上式$F_{t}(\omega )$代表在时间t的频谱含量，它可以拿来定义更多相关的量，例如平均时间、持续时间、带宽。

对于一个与时间相关的信号，平均时间和持续时间是:

$\langle \tau \rangle _{t}=\int \tau |\eta _{t}(\tau )|^{2}d\tau ={\frac {\int \tau |x(\tau )h(\tau -t)|^{2}}{\int |x(\tau )h(\tau -t)|^{2}}}$

$T_{t}^{2}=\int (\tau -\langle t\rangle )^{2}|\eta _{t}(\tau )|^{2}d\tau ={\frac {\int (\tau -\langle \tau \rangle _{t})^{2}|x(\tau )h(\tau -t)|^{2}}{\int |x(\tau )h(\tau -t)|^{2}}}$

再来考虑平均频率与带宽:

$\langle \omega \rangle _{t}=\int \omega |F_{t}(\omega )|^{2}d\omega =\int \eta _{t}^{*}(\tau ){\frac {1}{j}}{\frac {d}{d\tau }}\eta _{t}(\tau )d\tau$

$B_{t}^{2}=\int (\omega -\langle \omega \rangle _{t})^{2}|F_{t}(\omega )|^{2}d\omega$

时间相关与窗函数相关的测不准原理

现在可以写出短时傅里叶变换的测不准原理:

$B_{t}T_{t}\geq {\frac {1}{2}}$

它与时间、信号和窗函数相关，必须提醒的事情是它只对短时傅里叶变换做出了限制，与原本信号的测不准原理无关。可以预测，随着窗函数变窄，$B_{t}\to \infty$。原信号的测不准原理没有变化，这是因为借由加入窗函数而改变了它。

参见

• 测不准原理

参考文献

• L.科恩(白居宪译). 时-频分析:理论与应用. 西安交通大学出版社. 1998: 35–41. ISBN 9787560509587.