局部紧阿贝尔群

调和分析拓扑学数论数学领域中,局部紧阿贝尔群是具有特别方便拓扑的阿贝尔群。例如整数群(具有离散拓扑)、或实数(都具有通常拓扑)都是局部紧阿贝尔群。

定义与例子

拓扑空间,若其底拓扑空间是局部紧豪斯多夫空间,则称拓扑空间是局部紧的;若底群的阿贝尔群,则称拓扑群是阿贝尔的。

局部紧阿贝尔群的例子有:

  •  ,其中n是正整数,向量加法为群作用。
  • 正实数 ,乘法为群作用。由指数映射与 同构。
  • 任意具有离散拓扑的有限阿贝尔群。由有限生成阿贝尔群的基本定理,所有此种群都是循环群之积。
  • 具有离散拓扑的整数 ,加法为群作用。
  • 圆群,对环面记作 。这是为1的复数群。 作为拓扑群同构于商群 
  • P进数 ,加法为群作用,具有通常的P进拓扑。

对偶群

G的局部紧阿贝尔群,则G特征G圆群 连续群同态G上的特征集可组成局部紧阿贝尔群,称作G的对偶群,记作 ;其群作用是特征的逐点乘,特征的逆是其复共轭,特征空间的拓扑紧集上的一致收敛拓扑(即紧致开拓扑,将 视作G 的所有连续函数空间的子集)。这种拓扑一般来说是不可度量的,但若G可分局部紧阿贝尔群,则其对偶群可度量。 这类似于线性代数中的对偶空间:正如对域K上的向量空间V,对偶空间是 ,对偶群 也如此。更抽象地说,它们都是可表函子,分别表为'K 

同构于对偶群的群(作为拓扑群)自对偶。实数与有限循环群是自对偶的,而实数群与对偶群并不自然同构,应视作两个不同的群。

对偶群的例子

 的对偶群与圆群 同构。加法下的整数 有限循环群上的特征由其在生成子1上的值决定。因此,对 上的特征  。此外,这个公式为 中任意选择的 定义了一个特征。这种情况下,紧集上的一致收敛拓扑就是逐点收敛拓扑,这是从复数继承来的圆群拓扑。

 的对偶规范同构于 。事实上, 上的特征具有形式 ,其中n是整数。由于 是紧的,所以其对偶群的拓扑是一致收敛拓扑,也就是离散拓扑

实数群 是自对偶的,其上的特征具有形式 ,其中 是实数。有了这些对偶性,下面介绍的傅里叶变换就与 上的经典傅里叶变换重合了。

同样,p-进数群 是自对偶的(实际上, 的任意有限扩张也是自对偶的)。由此可见,赋值向量环是自对偶的。

庞特里亚金对偶性

庞特里亚金对偶性断言,函子

 

在局部紧阿贝尔群范畴(具有连续态射)的对偶范畴与它本身之间诱导出一个等价关系

 

范畴论性质

Clausen (2017)证明,局部紧阿贝尔群范畴LCA大致可以度量整数和实数之间的差别。更确切地说,局部紧阿贝尔群范畴的代数K-理论谱,以及ZR的都位于同一个同伦纤维序列中:

 

参考文献