多重指标

多重指标是数学中一种方便的表示法,它将指标中的单个整数推广为多个整数,它可以简化多元微积分偏微分方程分布理论中的计算,也便于操作幂级数

定义与运算

一个 -维多重指标是一个由整数构成的向量

 

 为多重指标,定义:

 
 
 

应用最广的是非负的多重指标,此时可以定义:

 
 (假设 
 ,定义 
 其中 

命题。若 是非负的 维多重指标,且 ,则

 

按定义直接操作即可证明。

应用

多元微积分

多重指标可以将单变元微积分的许多结果直接推广到多变元。以下是几个例子:

多元幂级数:有两个以上变元的幂级数通常写成

 

其中  -维多元指标而 ,以简化冗长的表法

 

多项展开

 

莱布尼茨公式:设 存在够高阶的导数,则

 

泰勒展开式对一多元解析函数f,当 充分小时有下述展开

 

其实这不外是定义,多元指标在此提供了简练的表示法。

对于存在够高阶导数的函数,我们也有带余项的泰勒展开式

 

其中的最后一项(余项)有多种表法,例如柯西的积分表法:

 

偏微分算子

一个形式上的 变元 -阶偏微分算子能以多重指标写成

 

分部积分:对有界定义域 上的紧支集光滑函数,我们有

 

此公式用以定义分布弱导数

文献

  • Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

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