卢津定理
实分析中关于可测函数的定理
定理叙述
一维形式
设 是可测函数,对任何 ,都存在紧致集 ,使得 ,而且f限制到E上是连续函数。此处 是勒贝格测度。
证明
因为f可测,所以在一个测度任意小的开集以外,f是有界函数。在开集上重定义f为0,那么f在[a,b]上有界,因而是可积函数。因为连续函数在可积函数的空间 中稠密,存在连续函数序列 依L1范数收敛至f,即 。故此有子序列 几乎处处收敛至f。从叶戈罗夫定理可知,除了一个测度任意小的开集外, 一致收敛至f。因为连续函数的一致收敛极限仍是连续的,故此f在此开集外连续。取E为以上两个开集的并集在[a,b]中的补集,那么原本的f在E上连续。
多维形式
设 是 上的正则博雷尔测度, 是 可测函数。X是 中的 可测集,而且 ,那么对任意 ,X中存在紧致集K,使得 ,而且f限制到K上是连续函数。
证明
首先,对每个正整数i,构造紧致集 和在其上的连续函数 ,使得
且在 上有
构造方法如下:
将 分成两两不交的博雷尔集 ,使得每个集的直径都小于1/i。函数f可测,所以每个集的原像 是可测集。令 ,则 将X分成两两不交的可测集。
由于 是博雷尔正则测度,且 ,于是 限制到X上是拉东测度。由拉东测度的内正则性,在 中存在紧致子集 ,使得
所以全部子集 的不交并集的测度
因为 ,可以取足够大的N使得
令 。有限个紧致集的并集是紧致集,所以 紧致。因此 满足要求。
对j=1,..., N,在 中任取一点 ,并在 上定义 。
因为在 上,f的值包含在 中,故此f和 相差小于1/i。而 是两两不交的紧致集,故两两间的距离都是正数,所以 在 上是连续函数。因此 满足要求。
取 ,K是紧致集,并有
函数列 在K上一致收敛到f。一致收敛保持函数的连续性,所以f在K上连续。
参考
- Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.