卡伦数

卡伦数是形式如$n\times 2^{n}+1$（写作$C_{n}$）的自然数。

若质数$p=8k-3=2n-1$，$C_{n}$能被$p$整除。根据费马小定理，若p是奇质数，$p$能整除$C_{m(k)}$对于$m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k$ (对于$k>0$)。

广义卡伦数有时定义为$n\times b^{n}+1$而且$n+2>b$。胡道尔数有时称为第二种卡伦数。

历史和卡伦质数

1905年，詹姆士·卡伦首先研究它。

1958年Raphael M. Robinson核实$C_{141}$是质数，且证明了若$n\leq 1000$，除了$C_{1}$和$C_{141}$之外，$C_{n}$均为合成数。

1984年Wilfrid Cellar又类似地核实了$C_{4713},C_{5795},C_{6611},C_{18496}$ 和以上提到的卡伦质数之外，$n\leq 30000$的$C_{n}$均为合成数。

截止2009年4月，已知的卡伦质数有141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828 (OEIS:A005849)，n=1354000以下的卡伦质数已被找到。可是，“存在无限个卡伦质数”这问题仍属猜想。

是否存在质数$p$使得$C_{p}$为质数同样为疑问。

参考

• Cullen, James (1905). Question 15897. Educ. Times (December 1905), 534.