单叶函数

单叶函数univalent function)是数学领域中的复分析对函数的一种分类,若一全纯函数的定义域为复数平面中的一开集,而函数为单射函数,此函数即为单叶函数。

为一全纯函数,且满足下式

为单叶函数。

举例

任何由开集单位圆盘映射到本身的映射 (其中 )为单叶函数。

基本性质

  为二个复数平面中的开集连通空间,且

 

是一个满足 的单叶函数(有一对一的对应关系),则 导数恒不为0, 可逆,而且其逆元素 也是全纯函数。依链式法则可得到下式:

 

对所有 中的复数 皆成立。

和实函数的比较

实解析函数和全纯函数不同,上述的性质在实解析函数中不成立,考虑以下的函数:

 

ƒ(x) = x3。此函数也是单射函数,但在x = 0处其导数为0,其逆元素在 (−1, 1)区间中也不完全是解析函数,也不完全可微。

参考资料

  • John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90328-3.
  • John B. Conway. Functions of One Complex Variable II. Springer-Verlag, New York, 1996. ISBN 0-387-94460-5.