十一面体

几何学中,十一面体(英语:Hendecahedron)是指具有十一多面体[1]。没有任何十一面体是正十一面体,也就是说找不到面由正多边形组成且每个面全等、每个角相等的十一面体。

十一面体
部分的十一面体
双对称十一面体
双对称十一面体
五角锥台锥
五角锥台锥
正五角锥柱
正五角锥柱
截顶角五方偏方面体
截顶角五方偏方面体
侧锥六角柱
侧锥六角柱
二侧锥三角柱
二侧锥三角柱

命名

十一面体的英文是Hendecahedron,其命名方式为Hen-代表一,deca代表十,然后结合多面体字尾-hedron,就得到十一面体Hendecahedron[2]

常见的十一面体

在所有凸十一面体中,包含镜射像共有440,564种拓朴结构明显差异的凸十一面体[3][4]。拓朴结构有明显差异意味着两种多面体无法透过移动顶点位置、扭曲或伸缩来相互变换的多面体,例如五角锥柱和九角柱无论如何变形都无法互相变换,因此拓朴结构不同,但九角柱和九角锥台可以透过伸缩其中一个九边形面来彼此互换,因此三角柱和三角锥台在拓朴上并无明显差异。

常见的十一面体有锥体柱体、部分的约翰逊多面体半正多面体,此处的半正多面体并非阿基米德立体,而是正九角柱。

其他十一面体还有九角柱、十角锥、正五角锥反角柱的对偶、双对称十一面体等多面体,其中双对称十一面体可以密铺空间。[5]

三角丸塔

 
正三角丸塔

三角丸塔是指以三角形为底的丸塔,是一种十一面体,由1个三角形顶面、1个六边形底面、3个五边形侧面和6个三角形侧面组成,共有11个面、21条边和12个顶点,其中顶面的三角形与底面的六边形互相平行,侧面的三角形与五边形交错地围绕轴分布在周围。

以正三角形为底的三角丸塔称为正三角丸塔,其仅有顶面和底面为正多边形,分别为顶面的正三边形和底面的正六边形,侧面可能可以存在正三角形或存在正五边形,但有正三角形面时,五边形最多仅能是等边不等角的非正五边形;有正五边形面时,三角形会出现等腰三角形,故不属于约翰逊多面体。唯一属于约翰逊多面体的丸塔仅有正五角丸塔[6]

正三角丸塔的对称群为C3v英语Dihedral symmetry in three dimensions群,阶数为6阶。

截半三角柱

 
截半三角柱的旋转动画

在几何学中,截半三角柱是指经过截半变换后的三角柱,是一种十一面体[7],其侧面是正方形、底面是正三角形,另外还有6个等腰三角形面。

截半三角柱可由三角柱将边的中点当作新的顶点,旧的顶点消失,来构造,换句话说,即是用三角柱由一条棱斩到另一条棱的中点(即斩去三角柱的顶点,但不是截角)而成。

其具有D3h二面体群的对称性。

约翰逊多面体

在十一面体中,有3个是约翰逊多面体,它们分别为:正五角锥柱二侧锥三角柱侧锥六角柱

名称 种类 图像 编号 顶点 面的种类 对称性 展开图
正五角锥柱 角锥柱   J9[8] 11 20 11 5个正三角形 
5个正方形 
1个正五边形 
C5v, [5], (*55)  
二侧锥三角柱 锥体与柱体的组合   J50[9] 8 17 11 10个正三角形 
1个正方形 
C2v  
侧锥六角柱 锥体与柱体的组合   J54[10] 8 17 11 4个正三角形 
5个正方形 
2个六边形 
C2v  

九角柱

 
正九角柱

九角柱是一种底面为九边形的柱体,是十一面体的一种,由11个面、27条边和18个顶点组成[11],对偶多面体为双九角锥[12]。正九角柱代表每个面都是正多边形的九角柱,其每个顶点都是2个正方形和1个九边形的公共顶点,因此具有每个角等角的性质,可以归类为半正十一面体。而顶点都是2个正方形和1个九边形的公共顶点的这种顶角,在顶点图中以 表示。正九角柱在施莱夫利符号中可以利用{9}×{} 或 t{2, 9}来表示;在考克斯特—迪肯符号英语Coxeter-Dynkin diagram中可以利用     来表示;在威佐夫符号英语Wythoff symbol中可以利用2 9 | 2来表示;在康威多面体表示法中可以利用P9来表示。若一个正九角柱底边的边长为 、高为 ,则其体积 和表面积 [13]

 
 

十角锥

十角锥是一种底面为十边形的锥体,是十一面体的一种,由11个面、20条边和11个顶点组成[14],其对偶多面体是自己本身[15]。正十角锥是一种底面为正十边形的十角锥。若一个正十角锥底边的边长为 、高为 ,则其体积 和表面积 [15]

 
 

十一面体列表

名称 种类 图像 符号 顶点 χ 面的种类 对称性 展开图
九角柱 棱柱体   t{2,9}
{9}x{}
     
18 27 11 2 2个九边形 
9个矩形 
D9h, [9,2], (*922), order 36
十角锥 棱锥体   ( )∨{10} 11 20 11 2 1个十边形 
10个三角形 
C10v, [10], (*10 10)
五角锥柱 角锥柱
约翰逊多面体
  P5+Y5 11 20 11 2 5个三角形 
5个正方形 
1个五边形 
C5v, [5], (*55)
五角锥台锥 截角双锥   11 20 11 2 1个五边形 
5个梯形 
5个三角形 
C5v, [5], (*55)  
三角丸塔 丸塔   12 21 11 2 1个三角形顶面
1个六边形底面
3个五边形侧面
6个三角形侧面
C3v英语Dihedral symmetry in three dimensions, [3], (*33), order 6
截顶角五方偏方面体 截顶角偏方面体   16 25 11 2 1个五边形底面
5个五边形侧面
5个筝形侧面
C5v, [5], (*55)  
截半三角柱   9 18 11 2 2个三角形 
3个正方形 
6个等腰三角形 
D3h, [3,2], (*322), order 12  
截半双三角锥 9 18 11 2 3个正方形 
8个三角形 
D3h, [3,2], (*223) order 12
双对称十一面体 空间充填多面体   11 20 11 2 4个筝形 
2个菱形 
4个等腰三角形 
1个正方形 
 

在化学中

化学中,将十八面体硼烷离子([B11H11]2−)的全部去掉后,可以得到一个结构,它是十八面体,再将每个原子做垂直于重心到硼原子的面,可构造成新的多面体,即为十八面体硼烷结构的对偶多面体,也是十一面体之一。[16]

双对称十一面体

双对称十一面体(Bisymmetric Hendecahedron)是十一面体的一种多面体

帕雷托阿基米德立体,只有少数可以密铺于空间,也就是说堆砌在一起,不留空隙,以填补空间。Guy Inchbald描述了一个有趣的多面体,可以以令人惊讶的方式利用11面体完成空间的密铺。[5][17][18]

图像 旋转动画 展开图
     

曾有人提出一个十一面体[5],它的面数和顶点数是相同的[19],经过扭曲后,会得到不同的特性。最对称的自身对偶十一面体是双对称十一面体[20],它之所以会称为双对称是因为它有两个对称面[19]

参考文献

  1. ^ Thomas H. Sidebotham. The A to Z of Mathematics: A Basic Guide. John Wiley & Sons. 2003: 237. ISBN 9780471461630. 
  2. ^ Schwartzman Steven. The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English MAA Spectrum. Washington, D.C. : The Mathematical Association of America,. 1994: 243. ISBN 9780883855119. 
  3. ^ Steven Dutch: How Many Polyhedra are There?页面存档备份,存于互联网档案馆
  4. ^ Counting polyhedra页面存档备份,存于互联网档案馆) numericana.com [2016-1-10]
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Inchbald, Guy. "Five Space-Filling Polyhedra." The Mathematical Gazette 80, no. 489 (November 1996): 466-475.
  6. ^ Johnson, Norman W.英语Norman Johnson (mathematician), Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics英语Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .
  7. ^ 黄钰闵; 杨元蓁; 林凤美, 構成均勻凸多面體的條件式及幾何性質之探討 (PDF), 成渊高中小论文, [2021-08-02], (原始内容存档 (PDF)于2021-08-02) 
  8. ^ Weisstein, Eric W. (编). Elongated Pentagonal Pyramid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  9. ^ Weisstein, Eric W. (编). Biaugmented triangular prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  10. ^ Weisstein, Eric W. (编). Augmented pentagonal prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  11. ^ David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with D9h Symmetry: Enneagonal Prism. [2022-09-14]. (原始内容存档于2016-08-07). 
  12. ^ David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with D9h Symmetry: Enneagonal Dipyramid. [2022-09-14]. (原始内容存档于2022-09-14). 
  13. ^ Wolfram, Stephen. "enneagon prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  14. ^ David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with C10v Symmetry: Decagonal Pyramid. [2022-09-14]. (原始内容存档于2022-09-14). 
  15. ^ 15.0 15.1 Wolfram, Stephen. "decagon pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  16. ^ Holleman, Arnold Frederik; Wiberg, Egon, Wiberg, Nils , 编, Inorganic Chemistry, 由Eagleson, Mary; Brewer, William翻译, San Diego/Berlin: Academic Press/De Gruyter: 1165, 2001, ISBN 0-12-352651-5 
  17. ^ Space-Filling Bisymmetric Hendecahedron. [2013-04-11]. (原始内容存档于2013-03-28). 
  18. ^ Anderson, Ian. "Constructing Tournament Designs." The Mathematical Gazette 73, no. 466 (December 1989): 284-292.
  19. ^ 19.0 19.1 A Self-Dual Hendecahedron页面存档备份,存于互联网档案馆) steelpillow.com [2013-4-12]
  20. ^ Five space-filling polyhedra页面存档备份,存于互联网档案馆) steelpillow.com [2013-4-12]