八元数

八元数
八元数
符号
种类	超复代数
单位	形式：; 、、、、、、、 ; 形式：; 1、 i、 j、 k、 l、 il、 jl、 kl
乘法单位元	或1
主要性质	非交换; 非结合
数字系统
	自然数; 整数; 有理数; 实数; 复数; 四元数; 八元数; 十六元数; 三十二元数;
	查; 论; 编;

八元数（英语：Octonion）是以实数构建的8维度赋范可除代数，为四元数非结合推广的超复数，通常记为O或 $\mathbb {O}$ 。八元数的8个维度可以视为2个4维度之四元数的组合。八元数不具备结合律和交换律，但具备交错代数的特性，并保有幂结合性。

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正数 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整数 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代数数 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
复数 $\mathbb {C}$
高斯整数 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整数 $\mathbb {Z} ^{-}$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元数 $\mathbb {S}$
超实数 $^{*}\mathbb {R}$
大实数
 上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
共四元数（英语：Dual quaternion）
超复数
 超数
 超现实数

其他

素数 $\mathbb {P}$
可计算数
 基数
 阿列夫数
 同余
 整数数列
 公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 $\pi =3.14159265$ …
自然对数的底 $e=2.718281828$ …
虚数单位 $i={\sqrt {-{1}}}$
无限大 $\infty$

也许是因为八元数的乘法不具备结合性，因此它们作为超复数而言受关注的程度较四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和量子逻辑（英语：Quantum logic）中也有应用。

历史

八元数第一次被描述于1843年，于一封约翰·格雷夫斯（英语：John T. Graves）给威廉·卢云·哈密顿的信中。格雷夫斯称其为“octaves”。^[1]^:168后来八元数由阿瑟·凯莱在1845年独自发表。^[2]格雷夫斯发表结果的时间点比阿瑟·凯莱发表的时间稍晚一些^[3]。阿瑟·凯莱发表的八元数和约翰·格雷夫斯给威廉·卢云·哈密顿的信中所提及的并无关系。阿瑟·凯莱是独自发现八元数的，^[2]因此八元数又被称为凯莱数或凯莱代数。哈密顿则描述了八元数被发现并描述的早期历史。^[4]

定义

八元数可以视为实数的八元组。八元数有多种构造方式。以凯莱-迪克森结构为例，八元数可以表达为2个四元数 $P$ 与 $Q$ 的组合，即 $P + Q l$ 或 $p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,$ ，其中，量 $l$ 为其中一个八元数单位并满足：^[5]

i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,

在这种定义下每一个八元数都是单位八元数 ${1, i, j, k, l, il, jl, kl}$ 的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成^[6]

x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl

其中系数 $x a$ 是实数。这些八元数单位亦满足：^[5]

i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,

八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。^[6]

$\times$	$1$	$i$	$j$	$k$	$l$	$il$	$jl$	$kl$
$1$	$1$	$i$	$j$	$k$	$l$	$il$	$jl$	$kl$
$i$	$i$	$-1$	$k$	$-j$	$il$	$-l$	$-kl$	$jl$
$j$	$j$	$-k$	$-1$	$i$	$jl$	$kl$	$-l$	$-il$
$k$	$k$	$j$	$-i$	$-1$	$kl$	$-jl$	$il$	$-l$
$l$	$l$	$-il$	$-jl$	$-kl$	$-1$	$i$	$j$	$k$
$il$	$il$	$l$	$-kl$	$jl$	$-i$	$-1$	$-k$	$j$
$jl$	$jl$	$kl$	$l$	$-il$	$-j$	$k$	$-1$	$-i$
$kl$	$kl$	$-jl$	$il$	$l$	$-k$	$-j$	$i$	$-1$

一些不同的定义方式会将八元数的单位元表达为 $e a$ 的线性组合，其中 $a =0, 1,..., 7$ ：^[7]

\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},

当中的 $e_{0}$ 为实数单位。每个八元数单位元皆不相等，而其平方为实数。也就是说，每个八元数 $x$ 都可以写成以下形式^[8]：

x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,

^[9]^:5

其中 $x i$ 为单位元 $e i$ 的系数，且必为实数。八元数的加法和减法是通过加减相应的项以及它们的系数来完成的，与四元数的加减法类似。乘法则较为复杂。八元数的乘法是对加法的分配，所以两个八元数的乘积可以通过对所有项的乘积求和来计算，再次如同四元数一般。每对项的乘积可以通过系数的乘积和单位八元数的乘法表给出^[7]，其乘法表的结构与 ${1, i, j, k, l, il, jl, kl}$ 的模式（ $p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,$ ）类似。这个乘法表先后由Graves于1843年和Cayley于1845年描述：^[10]

$e_{i}e_{j}$ ^[11]		$e_{j}$
$e_{i}e_{j}$ ^[11]		$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$
$e_{i}$	$e_{0}$	$e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$	$e_{5}$	$e_{6}$	$e_{7}$
	$e_{1}$	$e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{5}$	$-e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$
	$e_{2}$	$e_{2}$	$-e_{3}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$-e_{4}$	$-e_{5}$
	$e_{3}$	$e_{3}$	$e_{2}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$-e_{4}$
	$e_{4}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{6}$	$-e_{7}$	$-e_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$
	$e_{5}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{7}$	$e_{6}$	$-e_{1}$	$-e_{0}$	$-e_{3}$	$e_{2}$
	$e_{6}$	$e_{6}$	$e_{7}$	$e_{4}$	$-e_{5}$	$-e_{2}$	$e_{3}$	$-e_{0}$	$-e_{1}$
	$e_{7}$	$e_{7}$	$-e_{6}$	$e_{5}$	$e_{4}$	$-e_{3}$	$-e_{2}$	$e_{1}$	$-e_{0}$

除了主对角线上以及 $e_{0}$ 作为操作数的行和列的元素之外，乘法表中的大多数非对角元素都是反对称的，这使得这个乘法表几乎是一个斜对称矩阵。

该表可总结如下：^[12]

e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}

其中 $δ ij$ 为克罗内克δ函数（当且仅当 $i = j$ 时为1）、 $ε ijk$ 为完全反对称张量（英语：completely antisymmetric tensor），且当 $ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365$ 时，值为1。^[9]

然而，上述定义并不是唯一的。这些定义只是 $e_{0}=1$ 八元数乘法的480个可能定义之一。其他的八元数乘法定义可以透过置换和改变非标量基元素 $\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},$ 的符号来获得。^[13]这480个不同乘法定义对应的代数结构是同构的，很少需要考虑使用哪个特定的乘法规则。

这480个八元数乘法定义中，每一定义的正负号在7循环（1234567）下的特定点上都是不变的，并且对于每个7循环有四个定义，它们的区别在于正负号和顺序的反转。一个常见的选择是使用 $e 1 e 2 = e 4$ 的7循环（1234567）下的定义不变量 — 通过使用三角乘法图或下面的法诺平面，该平面还显示了基于124的7循环三元组及其相关乘法的排序列表 $e n$ 和 $ijkl$ 格式的矩阵。^[14]

此外，亦有一些文献会将八元数的单位定义为 $1,i,j,k,L,m,n,o$ 。^[15]

凯莱-迪克松构造

一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数 $(a,b)$ 和 $(c,d)$ 的乘积定义为：^[8]^:153

(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})

其中 $z^{*}$ 表示四元数 $z$ 的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。^[16]

法诺平面记忆

八元数的乘积的简单记忆。

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也视为一条直线），称为法诺平面（英语：Fano plane）。^[17]这些直线是有向的。七个点对应于 $\mathbb {O}$ 的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。^[18]

设 $(a, b, c)$ 为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：^[18]

ab = c ， ba = - c

以及它们的循环置换（英语：Cyclic permutation）。这些规则^[18]

1是乘法单位元，
对于图中的每一个点，都有 $e^{2}=-1$

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了 $\mathbb {O}$ 的一个子代数，与四元数 $\mathbb {H}$ 同构。^[8]^:151-152

共轭、范数和逆元素

八元数

x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl

的共轭为：

x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.

当中除了实数项外，其余项正负号皆相反。因此若将八元数单位表达为 ${e 1, e 2 ... e 7}$ ，则八元数的共轭可以简化表示为：^[9]^:6

x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7

共轭是 $\mathbb {O}$ 的一个对合，满足 $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$ （注意次序的变化）。^[16]

x的实数部分定义为 $\mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}$ ，虚数部分定义为 $\mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}$ 。^[16]所有纯虚的八元数生成了 $\mathbb {O}$ 的一个七维子空间，记为 $\mathbb {O}$ 。^[8]^:186

八元数x的范数可用与自身共轭的积 $\|x\|^{2}=x^{*}x$ 来定义^[16]：

\|x\|={\sqrt {x^{*}x}}

在这里，平方根是定义良好的，因为 $x^{*}x=xx^{*}$ 总是非负实数：^{[注 1]}

\|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}

这个范数与 $\mathbb {R} ^{8}$ 上的标准欧几里得范数是一致的。

$\mathbb {O}$ 上范数的存在，意味着 $\mathbb {O}$ 的所有非零元素都存在逆元素。 $x \neq 0$ 的逆元素为：^[16]^[9]^:6

x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}

它满足 $xx^{-1}=x^{-1}x=1$ 。

性质

八元数的乘法既不是交换的：^[9]^:6

ij=-ji\neq ji\,

也不是结合的：^[5]^:41

(ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,

然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性^[9]^:2。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数（英语：Subalgebra）是结合的。^[9]^:3实际上，我们可以证明，由 $\mathbb {O}$ 的任何两个元素所生成的子代数都与 $\mathbb {R}$ 、 $\mathbb {C}$ 或 $\mathbb {H}$ 同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。^[9]

八元数确实保留了 $\mathbb {R}$ 、 $\mathbb {C}$ 和 $\mathbb {H}$ 共同拥有的一个重要的性质： $\mathbb {O}$ 上的范数满足

\|xy\|=\|x\|\|y\|

这意味着八元数形成了一个非结合的赋范可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质，因为它们都存在零因子。^[19]

这样，实数域上唯一的赋范可除代数是 $\mathbb {R}$ 、 $\mathbb {C}$ 、 $\mathbb {H}$ 和 $\mathbb {O}$ 。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数（英语：Division algebra）。^[8]^:155

由于八元数不是结合的，因此 $\mathbb {O}$ 的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。

自同构

八元数的自同构A，是 $\mathbb {O}$ 的可逆线性变换，满足：

A(xy)=A(x)A(y).\,

$\mathbb {O}$ 的所有自同构的集合组成了一个群，称为 $G 2 （英语： G2 (mathematics) ）$ 。^[21]^[9]群 $G 2$ 是一个单连通、紧致、14维的实李群。^[22]这个群是例外李群（英语：w:Exceptional Lie group#Exceptional cases）中最小的一个。^[23]

参见

双曲复数
四元数
十六元数
$Spin(8)$ （英语：Spin(8)）
$PSL(2,7)$ ──法诺平面的自同构群。

注释

^ 在范数可良好定义的前提下， ${\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R}$ ，且 $x^{*}x>0$ ^[16]，因此可以得到 $x^{*}x=xx^{*}$ 总是非负实数的结论。

参考文献

^ Sabadini, I. and Shapiro, M. and Sommen, F. Hypercomplex Analysis. Trends in Mathematics. Birkhäuser Basel. 2009 [2022-04-27]. ISBN 9783764398934. LCCN 2008942605. （原始内容存档于2021-10-26）.
^ ^2.0 ^2.1 Cayley, Arthur, On Jacobi's elliptic functions, in reply to the Rev.; and on quaternions, Philosophical Magazine（英语：Philosophical Magazine）, 1845, 26: 208–211 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645107, （原始内容存档于2022-04-22） . Appendix reprinted in The Collected Mathematical Papers, Johnson Reprint Co., New York, 1963, p. 127
^ Graves, On a Connection between the General Theory of Normal Couples and the Theory of Complete Quadratic Functions of Two Variables, Phil. Mag., 1845, 26: 315–320 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645136, （原始内容存档于2015-04-04）
^ Hamilton, Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq., Transactions of the Royal Irish Academy, 1848, 21: 338–341
^ ^5.0 ^5.1 ^5.2 S. V. Ludkovsky. Meta-Invariant Operators over Cayley-Dickson Algebras and Spectra. Advances in Pure Mathematics. 2013, 03 (01): 41–69 [2022-04-22]. ISSN 2160-0368. doi:10.4236/apm.2013.31008. （原始内容存档于2022-04-27）.
^ ^6.0 ^6.1 State Enterprise National Power Company “UkrEnergo”, S.I. Klipkov. Some Features of the Matrix Representations of the Octonions. Èlektronnoe modelirovanie. 2019-08-08, 41 (4): 19–34 [2022-04-22]. doi:10.15407/emodel.41.04.019. （原始内容存档于2022-04-22）.
^ ^7.0 ^7.1 Baez, John C. The Octonions.^[8] p. 150
^ ^8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 ^8.4 ^8.5 ^8.6 ^8.7 Baez, John C. The Octonions. Bulletin of the American Mathematical Society. 2002, 39 (2): 145–205 [2022-04-20]. ISSN 0273-0979. MR 1886087. S2CID 586512. arXiv:math/0105155  . doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. （原始内容存档于2008-10-09）.
^ ^9.0 ^9.1 ^9.2 ^9.3 ^9.4 ^9.5 ^9.6 ^9.7 ^9.8 A.K.Waldron, G.C.Joshi. Gauging octonion algebra. arXiv preprint hep-th/9211123. 1992 [2022-04-26]. arXiv:hep-th/9211123v1  . doi:10.48550/arXiv.hep-th/9211123. （原始内容存档于2022-04-22）（英语）. 論文全文 (PDF). [2022-04-27]. （原始内容 (PDF)存档于2019-10-17）.
^ G Gentili; C Stoppato; DC Struppa; F Vlacci, Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable, Irene Sabadini（英语：Irene Sabadini）; M Shapiro; F Sommen (编), Hypercomplex analysis, Birkhäuser: 168, 2009 [2022-04-20], ISBN 978-3-7643-9892-7, （原始内容存档于2016-12-04）
^ John Baez. Constructing the Octonions. math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22]. （原始内容存档于2022-01-13）.
^ L. V. Sabinin; L. Sbitneva; I. P. Shestakov, §17.2 Octonion algebra and its regular bimodule representation, Non-associative algebra and its applications, CRC Press: 235, 2006 [2022-04-20], ISBN 0-8247-2669-3, （原始内容存档于2016-12-04）
^ 480 varieties of octonion multiplication. tamivox.org. 2015-12-08 [2022-04-22]. （原始内容存档于2021-05-16）.
^ J. Gregory Moxness. The Comprehensive Split Octonions and their Fano Planes. viXra. 2015.
^ 穆大禄. 三十二元數乘法表. 信阳师范学院学报（自然科学版）. 2017年4月, 第30卷 (第2期) [2022-04-26]. doi:10.3969/j.issn.1003-0972.2017.02.001. （原始内容存档于2022-04-27）（中文（简体））. 論文全文 (PDF). [2022-04-27]. （原始内容 (PDF)存档于2022-04-27）.
^ ^16.0 ^16.1 ^16.2 ^16.3 ^16.4 ^16.5 Baez, John C. The Octonions.^[8] p. 154
^ John Baez. The Fano plane. math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22]. （原始内容存档于2022-01-13）.
^ ^18.0 ^18.1 ^18.2 Baez, John C. The Octonions.^[8] p. 152
^ Schafer, Richard D., An introduction to non-associative algebras , Dover Publications（英语：Dover Publications）, 1995 [1966], ISBN 0-486-68813-5, Zbl 0145.25601
^ Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . （Review. （原始内容存档于2016-09-10）. ）
^ Conway & Smith 2003,^[20] Chapter 8.6
^ Agricola, Ilka. Old and new on the exceptional group G₂ (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 2008, 55 (8): 922–929 [2022-04-22]. MR 2441524. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-15）.
^ Adams, J. Frank, Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1996, ISBN 978-0-226-00526-3, MR 1428422

延伸阅读

Baez, John, The Octonions, Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39: 145–205 [2008-12-01], （原始内容存档于2008-12-09） . Online HTML version at math.ucr.edu. （原始内容存档于2008-10-09）.
Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . （Review. （原始内容存档于2016-09-10）. ）

[19] 在范数可良好定义的前提下， ${\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R}$ ，且 $x^{*}x>0$ ^[16]，因此可以得到 $x^{*}x=xx^{*}$ 总是非负实数的结论。

[sabadini2009hypercomplex-1] Sabadini, I. and Shapiro, M. and Sommen, F. Hypercomplex Analysis. Trends in Mathematics. Birkhäuser Basel. 2009 [2022-04-27]. ISBN 9783764398934. LCCN 2008942605. （原始内容存档于2021-10-26）.

[Philosophical_Magazine_1845-2] 2.0 ^2.1 Cayley, Arthur, On Jacobi's elliptic functions, in reply to the Rev.; and on quaternions, Philosophical Magazine（英语：Philosophical Magazine）, 1845, 26: 208–211 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645107, （原始内容存档于2022-04-22） . Appendix reprinted in The Collected Mathematical Papers, Johnson Reprint Co., New York, 1963, p. 127

[3] Graves, On a Connection between the General Theory of Normal Couples and the Theory of Complete Quadratic Functions of Two Variables, Phil. Mag., 1845, 26: 315–320 [2022-04-22], doi:10.1080/14786444508645136, （原始内容存档于2015-04-04）

[4] Hamilton, Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq., Transactions of the Royal Irish Academy, 1848, 21: 338–341

[10.4236/apm.2013.31008-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 S. V. Ludkovsky. Meta-Invariant Operators over Cayley-Dickson Algebras and Spectra. Advances in Pure Mathematics. 2013, 03 (01): 41–69 [2022-04-22]. ISSN 2160-0368. doi:10.4236/apm.2013.31008. （原始内容存档于2022-04-27）.

[10.15407/emodel.41.04.019-6] 6.0 ^6.1 State Enterprise National Power Company “UkrEnergo”, S.I. Klipkov. Some Features of the Matrix Representations of the Octonions. Èlektronnoe modelirovanie. 2019-08-08, 41 (4): 19–34 [2022-04-22]. doi:10.15407/emodel.41.04.019. （原始内容存档于2022-04-22）.

[The_Octonions_p.150-7] 7.0 ^7.1 Baez, John C. The Octonions.^[8] p. 150

[math/0105155-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 ^8.4 ^8.5 ^8.6 ^8.7 Baez, John C. The Octonions. Bulletin of the American Mathematical Society. 2002, 39 (2): 145–205 [2022-04-20]. ISSN 0273-0979. MR 1886087. S2CID 586512. arXiv:math/0105155  . doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X. （原始内容存档于2008-10-09）.

[10.48550/arXiv.hep-th/9211123-9] 9.0 ^9.1 ^9.2 ^9.3 ^9.4 ^9.5 ^9.6 ^9.7 ^9.8 A.K.Waldron, G.C.Joshi. Gauging octonion algebra. arXiv preprint hep-th/9211123. 1992 [2022-04-26]. arXiv:hep-th/9211123v1  . doi:10.48550/arXiv.hep-th/9211123. （原始内容存档于2022-04-22）（英语）. 論文全文 (PDF). [2022-04-27]. （原始内容 (PDF)存档于2019-10-17）.

[GSSV-10] G Gentili; C Stoppato; DC Struppa; F Vlacci, Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable, Irene Sabadini（英语：Irene Sabadini）; M Shapiro; F Sommen (编), Hypercomplex analysis, Birkhäuser: 168, 2009 [2022-04-20], ISBN 978-3-7643-9892-7, （原始内容存档于2016-12-04）

[11] John Baez. Constructing the Octonions. math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22]. （原始内容存档于2022-01-13）.

[Shestakov-12] L. V. Sabinin; L. Sbitneva; I. P. Shestakov, §17.2 Octonion algebra and its regular bimodule representation, Non-associative algebra and its applications, CRC Press: 235, 2006 [2022-04-20], ISBN 0-8247-2669-3, （原始内容存档于2016-12-04）

[13] 480 varieties of octonion multiplication. tamivox.org. 2015-12-08 [2022-04-22]. （原始内容存档于2021-05-16）.

[Moxness2015TheCS-14] J. Gregory Moxness. The Comprehensive Split Octonions and their Fano Planes. viXra. 2015.

[15] 穆大禄. 三十二元數乘法表. 信阳师范学院学报（自然科学版）. 2017年4月, 第30卷 (第2期) [2022-04-26]. doi:10.3969/j.issn.1003-0972.2017.02.001. （原始内容存档于2022-04-27）（中文（简体））. 論文全文 (PDF). [2022-04-27]. （原始内容 (PDF)存档于2022-04-27）.

[The_Octonions_p.154-16] 16.0 ^16.1 ^16.2 ^16.3 ^16.4 ^16.5 Baez, John C. The Octonions.^[8] p. 154

[17] John Baez. The Fano plane. math.ucr.edu. 2001 [2022-04-22]. （原始内容存档于2022-01-13）.

[The_Octonions_p.152-18] 18.0 ^18.1 ^18.2 Baez, John C. The Octonions.^[8] p. 152

[Sch66-20] Schafer, Richard D., An introduction to non-associative algebras , Dover Publications（英语：Dover Publications）, 1995 [1966], ISBN 0-486-68813-5, Zbl 0145.25601

[21] Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . （Review. （原始内容存档于2016-09-10）. ）

[22] Conway & Smith 2003,^[20] Chapter 8.6

[23] Agricola, Ilka. Old and new on the exceptional group G₂ (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 2008, 55 (8): 922–929 [2022-04-22]. MR 2441524. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-15）.

[24] Adams, J. Frank, Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1996, ISBN 978-0-226-00526-3, MR 1428422

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

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[注 1]

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八元数
符号	$\mathbb {O}$
种类	超复代数
单位	$e_{n}$ 形式： $e_{0}$ 、 $e_{1}$ 、 $e_{2}$ 、 $e_{3}$ 、 $e_{4}$ 、 $e_{5}$ 、 $e_{6}$ 、 $e_{7}$ $ijkl$ 形式： $1$ 、 $i$ 、 $j$ 、 $k$ 、 $l$ 、 $il$ 、 $jl$ 、 $kl$
乘法单位元	$e_{0}$ 或 $1$
主要性质	非交换非结合
数字系统
$\mathbb {N}$ 自然数 $\mathbb {Z}$ 整数 $\mathbb {Q}$ 有理数 $\mathbb {R}$ 实数 $\mathbb {C}$ 复数 $\mathbb {H}$ 四元数 $\mathbb {O}$ 八元数 $\mathbb {S}$ 十六元数 $\mathbb {T}$ 三十二元数
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