伯努利不等式

数学中的伯努利不等式指出:对任意整数,和任意实数有:

如果且是偶数,则不等式对任意实数成立。

可以看到在,或时等号成立,而对任意正整数和任意实数,有严格不等式:

伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

证明和推广

伯努利不等式可以用数学归纳法证明:当 ,不等式明显成立。假设不等式对正整数 ,实数 时成立,那么

 
 

下面是推广到实数的版本:如果 ,那么:

  ,有 
 ,有 

这不等式可以用导数比较来证明:

 时,等式显然成立。

 上定义 ,其中 , 对 求导得 , 则 当且仅当 。分情况讨论:

  1.  ,则对  ;对  。因此  时取最大值 ,故得 
  2.   ,则对  ;对  。因此  时取最小值 ,故得 

在这两种情况,等号成立当且仅当 

相关不等式

下述不等式从另一边估计 :对任意 ,都有

 

我们知道  ),因此这个不等式是平凡的。