二刻尺作图

允許測量某線段的長度是否跟已知的線段等長且線段的端點與已知點這三點共線的作圖方法

二刻尺希腊语νεῦσις拉丁转写neusis)是一种几何作图的工具,是上面有二个刻度的直尺(刻度可以在作图过程中标示),因此可以记录长度。

二刻尺作图

二刻尺在古希腊时期曾经和圆规、(无刻度的)直尺一样是在尺规作图合法的作图工具。而后来的尺规作图多限定只能使用无刻度的直尺,不允许使用二刻尺。

构造

二刻尺介于刻度尺和尺规作图中的尺之间,既不同于日常使用的刻度尺(有许多刻度),也不同于尺规作图中的尺(没有刻度)。二刻尺有两个刻度,使得二刻尺上有某一固定长的线段。尺规作图中的,可视为画无限长的直线工具,二刻尺可看作这种尺上任意添加了点A和点B两个点(AB两点长度固定却不确定某一数值)。

使用方法

尺规作图中的尺只能用来将两连接起来。而二刻尺除了可以将两点连接起来,还有以下用法:假设上的两刻度距离a,有两条线lm和点P,可以用二刻尺找到一条通过P的直线,使得此直线与直线l和m的两个交点间的距离a

如图,有两条线lm和点P。可以将P对齐,并让其中一个刻度保持在l(图中黄点)上,慢慢转动尺 (允许尺贴着P滑动),直到另一个刻度碰到m(图中蓝点),此线即为所求(图中深蓝色线)。

几何作图

二刻尺可以解出单用直尺和圆规无法解决的问题,例如三等分角正七边形

 
用二刻尺做三等分角

三等分角

  • 已知角a,以B点为圆心,二刻尺刻度间距为半径画圆。
  • 角a的两边其中一边交圆于A点,并画另一边的延长线。
  • 将二刻尺固定在A点,并将两刻度一个移到圆上,另一个移到角a一边的延长线上,分别称为C点和D点。(即是使CD = AB)
  • 角b即为角a的三等分角。
 
用二刻尺作正七边形

正七边形

特定正多边形

基本上,正n边形可以由二刻尺作图建构当n =

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 97, 99, 102, 104, 105, 108, 109, 110, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 132, 133, 135, 136, 140, 143, 144, 146, 148, 152, 153, 154, 156, 160, 162, 163, 165, 168, 170, ... ,这是根据正十一边形的结果衍生而得。[1]

不过当n =

23, 29, 43, 46, 47, 49, 53, 58, 59, 67, 69, 71, 79, 83, 86, 87, 89, 92, 94, 98, 103, 106, 107, 113, 115, 116, 118, 121, 127, 129, 131, 134, 137, 138, 139, 141, 142, 145, 147, 149, 157, 158, 159, 161, 166, 167, 169, ... ,就无法借由二刻尺完成作图。

但目前仍然不知道对于以下的n,正n边形能不能二刻尺作图:

25, 31, 41, 50, 61, 62, 75, 82, 93, 100, 101, 122, 123, 124, 125, 150, 151, 155, 164, ...

倍立方

 
用二刻尺作倍立方
  • 以二刻尺刻度的间距做AB=BC=CA=BD,且A、B、D共线。
  • 将二刻尺固定在A点,并将两刻度一个移到CD的延长线上,另一个移到BC的延长线上,分别称为G点和H点。
  • AG的长度就是二刻尺刻度的间距的 倍。

二刻尺的没落

数学史学家T.L.希思英语T. L. Heath(T. L. Heath)认为古希腊数学家恩诺皮德斯[a](公元前440年左右)是第一个把圆规和直尺的地位提高的人。这种避免使用二刻尺的理念多少影响了同一时期、同一座岛上的几何学希俄斯的希波克拉底英语Hippocrates of Chios(Hippocrates of Chios,不是医师希波克拉底[b](公元前430年左右)。100年后,欧几里得在其著作中也尽量避免使用二刻尺作图。

公元前4世纪,受到柏拉图理念论影响,尺规作图被分成三个等级。这三个等级分别是:

  1. 只用圆和直线作图(一般的尺规作图)。
  2. 除了圆和直线,允许使用圆锥曲线作图(椭圆抛物线双曲线)。
  3. 使用其他方法作图(例如:二刻尺、阿基米德螺线)。

二刻尺被放在第三级是因为它可以解决前两级所不能解决的问题[c],因此二刻尺被当成解决问题的最终手段,这种简单而有力的作图工具也逐渐被当成不正当的作图工具。希腊数学家亚历山大里亚的帕普斯(Pappus of Alexandria,公元前325年左右)认为:“这是一个不小的错误”。

注释

  1. ^ 恩诺皮德斯是最早提出尺规作图原则的人。
  2. ^ 希波克拉底是我们目前所知第一个将几何作图条理化的人
  3. ^ 直尺、圆规和圆锥曲线最多只能解决二次方程的题目,而二刻尺至少可以解决三次方程的题目。

参考文献

外部链接

参见

  1. ^ BENJAMIN, ELLIOT; SNYDER, C. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society156.3 (May 2014): 409-424.; http://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753