主定理

在算法分析中，主定理（英语：Master theorem）提供了用渐近符号（大O符号）表示许多由分治法得到的递推关系式的方法。这种方法最初由乔恩·本特利、多萝西·布洛斯坦和詹姆斯·B·萨克斯在1980年提出，在那里被描述为解决这种递推的“天下无敌法”（Master method）。此方法经由经典算法教科书托马斯·H·科尔曼、查尔斯·E·雷瑟尔森、罗纳德·李维斯特和克利福德·史坦的《算法导论》推广而为人熟知。

不过，并非所有递推关系式都可应用支配理论。该定理的推广形式包括阿克拉-巴兹方法。

支配理论

假设有递归关系式

$T(n)=a\;T\!\left({\frac {n}{b}}\right)+f(n)$，其中 $a\geq 1{\mbox{, }}b>1$

其中，$n$为问题规模，$a$为递归的子问题数量，${\frac {n}{b}}$为每个子问题的规模（假设每个子问题的规模基本一样），$f(n)$为递归以外进行的计算工作。

情形一

如果存在常数$\epsilon >0$，有

$f(n)=O\left(n^{\log _{b}(a)-\epsilon }\right)$（可不严谨的视作多项式地小于）

则

$T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\right)$

情形二

如果存在常数$\epsilon \geq 0$，有

$f(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\log ^{\epsilon }n\right)$

则

$T(n)=\Theta \left(n^{\log _{b}a}\log ^{\epsilon +1}n\right)$

情形三

如果存在常数$\epsilon >0$，有

$f(n)=\Omega \left(n^{\log _{b}(a)+\epsilon }\right)$（多项式地大于）

同时存在常数$c<1$以及充分大的$n$，满足

$af\left({\frac {n}{b}}\right)\leq cf(n)$

则

$T\left(n\right)=\Theta \left(f\left(n\right)\right)$

常用算法中的应用

算法	递回关系式	运算时间	备注
二分搜索算法	$T(n)=T\left({\frac {n}{2}}\right)+\Theta (1)$	$\Theta (\log n)$	情形二（$\epsilon =0$）
二叉树遍历	$T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+\Theta (1)$	$\Theta (n)$	情形一
最佳排序矩阵搜索（已排好序的二维矩阵）	$T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+O(\log n)$	$\Theta (n)$
归并排序	$T(n)=2T\left({\frac {n}{2}}\right)+\Theta (n)$	$\Theta (n\log n)$	情形二（$\epsilon =0$）

参考文献

• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Sections 4.3 (The master method) and 4.4 (Proof of the master theorem), pp. 73–90.
• Michael T. Goodrich and Roberto Tamassia. Algorithm Design: Foundation, Analysis, and Internet Examples. Wiley, 2002. ISBN 0-471-38365-1. The master theorem (including the version of Case 2 included here, which is stronger than the one from CLRS) is on pp. 268–270.