在微积分和数学分析的其他分支中,不定式(英语:Indeterminate form),又称未定式,是指这样一类极限,其在按极限的运算规则进行代入后,还未能得到足够信息去确定极限值。
这个术语最初由柯西的学生穆瓦尼奥(法语:Abbé Moigno)在19世纪中叶提出。常见的不定式有: 0 0 , ∞ ∞ , 0 × ∞ , 1 ∞ , ∞ − ∞ , 0 0 和 ∞ 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~1^{\infty },~\infty -\infty ,~0^{0}{\text{ 和 }}~\infty ^{0}} 。 处理计算未定式的值常见的方法为使用洛必达法则。
0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} 是不定式,通常被认为没有定义。
0 0 {\displaystyle 0^{0}} 也是不定式。在不同软件中,有不同的处理规则,有些定义为1或0,有些视为“没有定义”。
在数学上,当 x {\displaystyle x} 趋向 0 + {\displaystyle 0^{+}} , x x {\displaystyle x^{x}} 的极限是1。
在幂级数和微积分中,有时候必须定义 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} ,等式才会成立。
在二项式定理中,当 x = 0 {\displaystyle x=0} ,右式会出现 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 。
微分学的幂法则(英语:Power rule),在 n = 1 {\displaystyle n=1} 及 x = 0 {\displaystyle x=0} 的情况下,也会出现 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 。
在物理学上这是有一定的解释。比如说电阻定义 (欧姆定律) R = U I {\displaystyle R={\frac {U}{I}}} ,当电压和电流都为 0 {\displaystyle 0} 时 R {\displaystyle R} 的值存在不确定性。
例如,极限
更一般地, 0 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}} 的极限可以通过洛必达法则求得。
下表中列出了最常见的不定式,可以通过变换来使得它们满足洛必达法则的条件。