韦伊配对

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韋伊配對(英語:Weil pairing),簡單的說,Weil對可將橢圓曲線之撓群(torsion group)上的兩個點,映射到一個特殊有限域之乘法子群上,藉此可將橢圓曲線離散對數問題(ECDLP)投射到一般的離散對數問題(DLP)。

Weil對被用在數論以及代數幾何上,以及橢圓曲線密碼學的ID-based cryptography上。

對於更高維度的阿貝爾簇,相應的理論依然成立。

公式

首先選出一個定義在 K 上面的橢圓曲線 E,以及一個正整數 n > 0 (如果 char(K) > 0, 則 n 必須與 char(K) 互質) 使得 K 包含n次单位根。 則對於 n-torsion 已知是order 為n的兩個循環群笛卡儿积。韋伊配對產生一個n次单位根。

 

依據 Kummer 定理,任何   上的兩個點  , 其中   .

韋伊配對可用以下方式實做。在橢圓曲線 E 基於 K 的代數閉包上的函數體中選擇一個函數 F除子

 

假如 F 在每個 P + kQ 的點都是一個簡單的零點,且在每個 kQ 的點都是一個簡單的極點,如果這些點都是不同的話。則 F 可以被明確的定義能被乘上一個整數。如果 G 是一個 F 對於 Q 的平移的話。則 G 的結構會有一樣的除子。所以函數 G/F 會是一個常數。

因此如果我們定義

 

我們將擁有一個非 1 的n次单位根 (因為做n次操作則必為1)。在此定義之下可以推出 w 是可交替且雙線性的, [1]只要這個配對是位於n-torsion 之中。

韋伊配對配對無法直接擴展到所有的撓點 (只能限制在特定的 n-torsion 的點) 因為不同的 n 會有不同的配對。

參考資料

  1. ^ Silverman, Joseph. The Arithmetic of Elliptic Curves. New York: Springer-Verlag. 1986. ISBN 0-387-96203-4.