User:Zao/沙盒

密率

以 $355\div 113$ 為例

${\begin{array}{lr}&3_{.}141592\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {339\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&16\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\&{\underline {113\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&47\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\&{\underline {452\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&18\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\&{\underline {113\ \ \ \ \ \ \ }}\\&67\ \ \ \ \ \ \ \\&{\underline {565\ \ \ \ \ }}\\&105\ \ \ \ \ \\&{\underline {1017\ \ \ }}\\&33\ \ \ \\&{\underline {226\ }}\\&104\ \\\end{array}}$

得 $355\div 113=3.141592..0.000104$

約率

以 $22\div 7$ 為例

${\begin{array}{lr}&3_{.}14\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {21\ \ \ \ \ }}\\&10\ \ \ \\&{\underline {7\ \ \ }}\\&30\ \\&{\underline {28\ }}\\&2\ \\\end{array}}$

得 $22\div 7=3.14..0.02$

商除法

傳統除法算法，源於籌算，在《孫子算經》中有論述。但其時尚無「商除」之名，此名首見於楊輝所著《楊輝算法》的《算法通變本末》。

商除法求約率

以約率為例。為簡單起見，先以兩個算盤（一個記錄商，一個記錄餘）說明之。

（例）$22\div 7$

• 第一位

置數			估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}3}}$			減積 $-3\times 7=-{\mathbf {\color {Blue}21}}$
		→			→
$000$ ($3.00$)	${\mathbf {\color {Red}22}}00$ ($22.00$)		${\mathbf {\color {Red}3}}00$ ($3.00$)	$2200$ ($22.00$)		$300$ ($3.00$)	${\mathbf {\color {Red}01}}00$ ($1.00$)
${\begin{array}{lr}&\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}22}}}}\\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}21}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}\\\end{array}}$

• 第二位

			估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}1}}$			減積 $-1\times 7=-{\mathbf {\color {Blue}7}}$
		→			→
$300$ ($3.00$)	$0100$ ($1.00$)		$3{\mathbf {\color {Red}1}}0$ ($3.10$)	$0100$ ($1.00$)		$310$ ($3.10$)	$0{\mathbf {\color {Red}03}}0$ ($0.30$)
${\begin{array}{lr}&3_{.}\ \ \ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ \ }}\\&10\ \ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}{\mathbf {\color {Red}1}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ }}\\&10\ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}1\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ }}\\&{\underline {-21\ \ \ }}\\&10\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}3}}\ \\\end{array}}$

• 第三位

			估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}4}}$			減積 $-4\times 7={\mathbf {\color {Red}28}}$
		→			→
$310$ ($3.10$)	$0030$ ($0.30$)		$31{\mathbf {\color {Red}4}}$ ($3.14$)	$0030$ ($0.30$)		$314$ ($3.14$)	$00{\mathbf {\color {Red}02}}$ ($0.02$)
${\begin{array}{lr}&3_{.}1\ \ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}1{\mathbf {\color {Red}4}}\ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\\end{array}}$			${\begin{array}{lr}&3_{.}14\ \\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-217\ \ \ }}\\&30\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}28}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}2}}\ \\\end{array}}$

得到 $22\div 7=3.14..0.02$。

商除法求密率

而實際在計算時，會使用一個算盤同時放置商數和餘數，就是分區放。要如何有效利用有限的檔位，又不影響計算，其規律就是夠除，隔位置商；不夠除，挨位置商。

以密率為例，說明完整的商除法。

以 $355\div 113$ 為例

• 第一位

置數		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}3}}$。夠除，隔位置商。		減積 $-3\times 113=-{\mathbf {\color {Blue}339}}$
	→		→
$00$"$355000000$		${\mathbf {\color {Red}3}}0$"$355000000$		$30$"${\mathbf {\color {Red}016}}000000$
${\begin{array}{lr}&\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}355}}}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}339}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}16}}\\\end{array}}$

• 第二位

前次結果		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}1}}$。夠除，隔位置商。		減積 $-1\times 113=-{\color {Blue}113}$
	→		→
$310$"$16000000$		$3{\mathbf {\color {Red}1}}0$"$16000000$		$310$"${\mathbf {\color {Red}047}}00000$
${\begin{array}{lr}&3\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&16\ \ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}113}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}47}}\\\end{array}}$

• 第三位

前次結果		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}4}}$。夠除，隔位置商。		減積 $-4\times 113=-{\color {Blue}452}$
	→		→
$3100$"$4700000$		$31{\mathbf {\color {Red}4}}0$"$4700000$		$3140$"${\mathbf {\color {Red}018}}0000$
${\begin{array}{lr}&3.1\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}452}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}18}}\\\end{array}}$

• 第四位

前次結果		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}1}}$。夠除，隔位置商。		減積 $-1\times 113=-{\color {Blue}113}$
	→		→
$31400$"$180000$		$314{\mathbf {\color {Red}1}}0$"$180000$		$31410$"${\mathbf {\color {Red}067}}000$
${\begin{array}{lr}&3.14\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.82\ \ }}\\&180\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}113}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}67}}\\\end{array}}$

• 第五位

前次結果		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}5}}$。夠除，隔位置商。		減積 $-5\times 113=-{\color {Blue}565}$
	→		→
$314100$"$67000$		$3141{\mathbf {\color {Red}5}}0$"$67000$		$314150$"${\mathbf {\color {Red}105}}00$
${\begin{array}{lr}&3.141\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&67\ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&670\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1415\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.933\ \ }}\\&670\\&{\underline {-565}}\\&105\\\end{array}}$

• 第六位。注意，這位是不夠除，挨位置商。

前次結果		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}9}}$。不夠除，挨位置商。		減積 $-9\times 113=-{\color {Blue}1017}$
	→		→
$314150$"$10500$		$31415{\mathbf {\color {Red}9}}$"$10500$		$314159$"${\mathbf {\color {Red}0033}}0$
${\begin{array}{lr}&3.1415\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&105\ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1415{\mathbf {\color {Red}9}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&1050\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.9895\ \ }}\\&105\ \ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}1017}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}33}}\\\end{array}}$

• 第七位。

前次結果		估商 估為 ${\mathbf {\color {Red}2}}$。夠除，隔位置商。		減積 $-2\times 113=-{\color {Blue}226}$
	→		→
$31415900$"$330$		$314159{\mathbf {\color {Red}2}}0$"$330$		$31415920$"${\mathbf {\color {Red}104}}$
${\begin{array}{lr}&3.14159\ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&33\ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&330\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141592\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354.99967\ \ }}\\&330\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}226}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}104}}\\\end{array}}$

得 $355\div 113=3.141592..0.000104$

歸除法求約率

以約率為例。

以 $22\div 7$ 為例

七歸

置數		七二下加六 商設為 $2$ 下一檔 $+6$		逢七進一 商$+1$ 本檔$-1$。		七一下加三 商設為 $1$ 下一檔 $+3$		七三四餘二 商設為 $4$ 下一檔 $+2$
	→		→		→		→
${\displaystyle }$"$2200$		${\mathbf {\color {Red}2}}$"${\mathbf {\color {Red}8}}00$		${\mathbf {\color {Red}31}}$"$00$		$3{\mathbf {\color {Red}1}}$"${\mathbf {\color {Red}3}}0$		$31{\mathbf {\color {Red}4}}$"${\mathbf {\color {Red}2}}$
${\begin{array}{lr}7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}2}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}14}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}8}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22}}\\&-14\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ }}\\&{\underline {-21\ \ }}\\&10\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}7}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}3}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\7\!\!\!\!\!\!&{\overline {)22\ \ \ \ }}\\&{\underline {-21.7\ \ }}\\&30\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}28}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}4}}\\\end{array}}$

得 $22\div 7=3.14..0.02$

歸除法求密率

跟單歸法類似，也是借助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。

以 $12345\div 321$ 為例，可以先用 300 來估商，因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積（如「三一三餘一」中，餘一的部分已加入下一檔）。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念：除數的首數稱為歸，除數的首數以外的數稱為除。除數為 321 的話，稱作3歸21除，意味著用 3歸求商及其減積，再以 21 來完成乘下的減積。

減積後，有可能發現的估商需要調整。若過小，需要增商，這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」；若過大，則需退商，則有退商口訣：

• 一歸：無除起一下還一
• 二歸：無除起一下還二
• 三歸：無除起一下還三
• 四歸：無除起一下還四
• 五歸：無除起一下還五
• 六歸：無除起一下還六
• 七歸：無除起一下還七
• 八歸：無除起一下還八
• 九歸：無除起一下還九

這口訣有明顯規律：「無除起（也有作「退」）一下還 n」，無需特別記憶。

另外，也有可能發現在某些情況（即除數、被除數差不多大，卻又不夠除時）下，無法估商，則使用撞歸口訣：

• 一歸：見一無除撞九一
• 二歸：見二無除撞九二
• 三歸：見三無除撞九三
• 四歸：見四無除撞九四
• 五歸：見五無除撞九五
• 六歸：見六無除撞九六
• 七歸：見七無除撞九七
• 八歸：見八無除撞九八
• 九歸：見九無除撞九九

這口訣也有明顯規律：「見 n 無除撞（也有作「作」）九 n」，無需特別記憶。它的意思是，在「除數、被除數的首數同為 n，卻又不夠除，直接估商為 9，下一檔要 +n」時。當首數相同，卻又無法進 1 （代表 10），則估商就從 9 開始。減積後，需要在下一檔 +n 。

以密率為例，因為除數為 $113$，故稱之為「一歸十三除」，相關口訣如下：

• 九歸口訣：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。
• 退商口訣：無除起一下還一。
• 撞歸口訣：見一無除撞九一。

以 $355\div 113$ 為例

• 第一位

一歸十三除

置數		逢三進三 商為 ${\mathbf {\color {Red}3}}$		以十三除減積 $-3\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}39}}$。
	→		→
$0$"$3550000000$		${\mathbf {\color {Red}3}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}550000000$		$3$"$0{\mathbf {\color {Red}16}}0000000$
${\begin{array}{lr}&\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {){\mathbf {\color {Red}355}}}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}300}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}55}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355}}\\&-300\\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}39}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}16}}\\\end{array}}$

• 第二位

一歸十三除

前次結果		逢一進一 商為 ${\mathbf {\color {Red}1}}$		以十三除減積 $-1\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}13}}$。
	→		→
$30$"$160000000$		$3{\mathbf {\color {Red}1}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}60000000$		$31$"$0{\mathbf {\color {Red}47}}000000$
${\begin{array}{lr}&3\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&16\ \ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.{\mathbf {\color {Red}1}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}100}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}60\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-339\ \ \ }}\\&160\ \\&-100\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}13\ }}}}\\&{\mathbf {\color {Red}47\ }}\\\end{array}}$

• 第三位

一歸十三除

前次結果		逢四進四 商為 ${\mathbf {\color {Red}4}}$		以十三除減積 $-4\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}52}}$。
	→		→
$310$"$4700000$		$31{\mathbf {\color {Red}4}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}700000$		$314$"$0{\mathbf {\color {Red}18}}0000$
${\begin{array}{lr}&3.1\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ }}\\&{\underline {-3503}}\\&47\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1{\mathbf {\color {Red}4}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}4}}00\ }}\\&70\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3503\ \ \ }}\\&470\ \\&-400\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}52}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}18}}\ \\\end{array}}$

• 第四位

一歸十三除

前次結果		逢一進一 商為 ${\mathbf {\color {Red}1}}$		以十三除減積 $-1\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}13}}$。
	→		→
$3140$"$180000$		$314{\mathbf {\color {Red}1}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}80000$		$3141$"$0{\mathbf {\color {Red}67}}000$
${\begin{array}{lr}&3.14\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ }}\\&18\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ \ \ }}\\&180\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}100}}}}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}80\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35482\ \ \ }}\\&180\ \\&-100\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}13\ }}}}\\&{\mathbf {\color {Red}67}}\ \\\end{array}}$

• 第五位

一歸十三除

前次結果		逢六進六 商為 ${\mathbf {\color {Red}6}}$		以十三除減積 ${\begin{array}{ll}-6\times 13&=-6\times (10+3)\\&=-{\mathbf {\color {Blue}60}}-{\mathbf {\color {Purple}18}}\\\end{array}}$。		加回減積		退商 無除起一下還一 商$-1$為 ${\mathbf {\color {Red}5}}$，下一檔$+1$		以十三除減積 $-5\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}65}}$。
	→		→		→		→		→
$31410$"$67000$		$3141{\mathbf {\color {Red}6}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}7000$		$31416$"$0{\mathbf {\color {Red}1}}000$		$31416$"$0{\mathbf {\color {Red}7}}000$		$3141{\mathbf {\color {Red}5}}$"${\mathbf {\color {Red}1}}7000$		$31415$"$1{\mathbf {\color {Red}05}}00$
${\begin{array}{lr}&3.141\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ }}\\&67\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}6}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}70\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1416\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&70\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}60}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}10}}\ &{\mathbf {\color {Purple}<18}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1416\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-600\ }}\\&70\ \\&-60\ \\&{\underline {+{\mathbf {\color {Blue}60}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}70}}\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&{\underline {-500\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}70\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141{\mathbf {\color {Red}5}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-354933\ \ \ }}\\&670\ \\&-500\ \\&{\underline {-65\ }}\\&1{\mathbf {\color {Red}05}}\ \\\end{array}}$

• 第六位

一歸十三除

前次結果		見一無除撞九一 商為 ${\mathbf {\color {Red}9}}$，下一檔 $+1$		以十三除減積 $-9\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}117}}$。
	→		→
$31415$"$10500$		$31415{\mathbf {\color {Red}9}}$"${\mathbf {\color {Red}1}}500$		$314159$"${\mathbf {\color {Red}033}}0$
${\begin{array}{lr}&3.1415\ \ \ \\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&105\ \ \ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.1415{\mathbf {\color {Red}9}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&1050\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}9}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}50\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-3549895\ \ \ }}\\&1050\ \\&-900\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}117}}\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}33}}\ \\\end{array}}$

• 第七位

一歸十三除

前次結果		逢三進三 商為 ${\mathbf {\color {Red}3}}$		以十三除減積 ${\begin{array}{ll}-3\times 13&=-3\times (10+3)\\&=-{\mathbf {\color {Blue}30}}-{\mathbf {\color {Purple}9}}\\\end{array}}$。		加回減積		退商 無除起一下還一 商$-1$為 ${\mathbf {\color {Red}2}}$，下一檔$+1$		以十三除減積 $-5\times 13=-{\mathbf {\color {Blue}65}}$。
	→		→		→		→		→
$3141590$"$330$		$314159{\mathbf {\color {Red}3}}$"${\mathbf {\color {Red}0}}30$		$3141593$"$0{\mathbf {\color {Red}0}}0$		$3141593$"$0{\mathbf {\color {Red}3}}0$		$314159{\mathbf {\color {Red}2}}$"${\mathbf {\color {Red}1}}30$		$3141592$"$1{\mathbf {\color {Red}04}}$
${\begin{array}{lr}&3.14159\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ }}\\&33\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}3}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}3}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}0}}30\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141593\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-300\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}3}}0\ }}\\&0{\mathbf {\color {Red}0}}0\ &{\mathbf {\color {Purple}<9}}\\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.141593\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-300\ \\&-30\ \\&{\underline {+{\mathbf {\color {Blue}3}}0\ }}\\&0{\mathbf {\color {Red}3}}0\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}2}}00\ }}\\&{\mathbf {\color {Red}1}}30\ \\\end{array}}$		${\begin{array}{lr}&3.14159{\mathbf {\color {Red}2}}\\113\!\!\!\!\!\!&{\overline {)355\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\\&{\underline {-35499967\ \ \ }}\\&330\ \\&-200\ \\&{\underline {-{\mathbf {\color {Blue}26}}\ }}\\&1{\mathbf {\color {Red}04}}\ \\\end{array}}$

得 $355\div 113=3.141592..0.000104$