逆散射变换

逆散射变换是求解某些非线性偏微分方程的一种方法,在某种意义上是傅里叶变换的非线性推广。这种方法的核心思想是,从散射数据的演变中恢复势的演变:逆散射指的是从散射矩阵中恢复势的问题。

逆散射变换可用于许多所谓“完全可解模型”,即完全可积的无限维系统。

概述

逆散射变换首先由Clifford S. Gardner, John M. Greene, and Martin D. Kruskal et al. (1967, 1974提出,用于求解KdV方程,并很快扩展到非线性薛定谔方程正弦-戈尔登方程户田晶格方程。后来也用于求解KP方程石森方程迪姆方程等等。博格莫尼方程(对于给定的规范群与定向黎曼3流形)提供了一族例子,其 解是磁单极子。 用逆散射法得到的解有一个特点,就是存在孤波,是类似于粒子又类似于波的解,线性偏微分方程中没有这种解。“孤波”是非线性光学的概念。 逆散射问题可以写作黎曼–希尔伯特分解问题,至少在一个空间维度的方程中是这样。这种表述可以推广到多阶微分算子和周期势。 在更高的空间维度中,会遇到“非局部”黎曼–希尔伯特分解问题(用卷积代替乘法)或Dbar问题

例子:KdV方程

KdV方程是非线性分散演化偏微分方程,涉及有两个变量(空间变量x与时间变量t)的函数u

 

其中  分别表示关于tx偏导数

 x的已知函数,要解初值问题,可将薛定谔特征方程

 

与这个方程联系起来,其中 tx的未知函数,u是KdV方程的解,除了在 时未知。常数 是一个特征值。

根据薛定谔方程,可得

 

将其代入KdV方程并积分,得到

 

其中CD为常数。

解法

Step 1. 确定非线性偏微分方程。这通常是通过分析所研究的物理实现的。

Step 2. 应用正向散射。关键是找到Lax 对,Lax 对由两个线性算子  组成,即  。极为重要的是,特征值 与时间无关,即 实现这一点的必要条件与充分条件如下:取 的时间导数,得到

 

 插入 ,得到

 

重排最右侧的项,得到

 

因此,

 

由于 ,这意味着 当且仅当

 

这是Lax方程,当中  的时间导数,明确地依赖于 。之所以这样定义微分,是因为 的最简单实例,即薛定谔算子(参薛定谔方程):

 

其中u是“势”。比较表达式  ,可以发现 因此可以忽略第一项。

拟合出适当的Lax对后,Lax方程应可恢复原来的非线性PDE。

Step 3. 确定与每个特征值 相关的特征函数、规范常数与反射系数的时间演化,它们构成所谓散射数据。演化由线性常微分方程给出,可以求解。

Step 4. 通过求解马琴科方程[1][2]这一线性积分方程,进行逆散射,从而获得原非线性PDE的最终解。为此,需要所有散射数据。若反射系数为零,过程会简单很多。若 是一阶微分或二阶差分,这步就会起作用,但对高阶算子则不一定。不过,在所有情况下,逆散射问题都可以简化为黎曼–希尔伯特问分解问题。(两种方法见于Ablowitz-Clarkson (1991)。数学上的严格处理方法参Marchenko (1986)。)

可积方程的例子

另见

参考文献

  1. ^ Gel’fand, I. M. & Levitan, B. M., "On the determination of a differential equation from its spectral function". American Mathematical Society Translations, (2)1:253–304, 1955.
  2. ^ V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications", Birkhäuser, Basel, 1986.

阅读更多

  • M. Ablowitz, H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform, SIAM, Philadelphia, 1981.
  • N. Asano, Y. Kato, Algebraic and Spectral Methods for Nonlinear Wave Equations, Longman Scientific & Technical, Essex, England, 1990.
  • M. Ablowitz, P. Clarkson, Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
  • Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M., Method for Solving the Korteweg-deVries Equation, Physical Review Letters, 1967, 19 (19): 1095–1097, Bibcode:1967PhRvL..19.1095G, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1095 
  • Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M., Korteweg-deVries equation and generalization. VI. Methods for exact solution., Comm. Pure Appl. Math., 1974, 27: 97–133, MR 0336122, doi:10.1002/cpa.3160270108 
  • V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications", Birkhäuser, Basel, 1986.
  • J. Shaw, Mathematical Principles of Optical Fiber Communications, SIAM, Philadelphia, 2004.
  • Eds: R.K. Bullough, P.J. Caudrey. "Solitons" Topics in Current Physics 17. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980.

外部链接