热核(英語:heat kernel)在数学中是指热方程的基本解。其也是拉普拉斯算子谱分析中的重要工具之一。对于固定边界的区域,当边界温度给定、并于t = 0时在其中某一点放置一单位热能时,热核表示此后区域内温度的变化过程。

一维热方程的基本解(红线)

最常见的热核为d欧几里得空间Rd上的热核。该热核为随时间变化的高斯函数,其表达式为

该热核是热方程

的解,其中t > 0,x,y ∈ Rd,Δ则表示拉普拉斯算子。方程的初始条件为

其中δ表示狄拉克δ函数。对任一紧支撑的光滑函数φ,有

对于Rd上的一般区域,热核并没有显式的表达式。当区域为圆盘或方形时,热核则分别为贝塞尔函数雅可比Θ函数。可以证明,对任意黎曼流形,当边界条件充分正则时,热核存在且在t>0时光滑。

参考文献