泊松方程

泊松方程(法語:Équation de Poisson)是數學中一個常見於靜電學機械工程理論物理偏微分方程式,因法國數學家幾何學家物理學家泊松而得名的。[1]

方程的叙述

泊松方程式為

 

在這裡 代表的是拉普拉斯算子,而  可以是在流形上的實數複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間,而拉普拉斯算子通常表示為 ,因此泊松方程通常寫成

 

在三維直角坐標系,可以寫成

 

如果有 恒等于0,這個方程式就會變成一个齐次方程,这个方程称作“拉普拉斯方程”。

 

泊松方程可以用格林函數來求解;如何利用格林函數來解泊松方程可以參考屏蔽泊松方程英语Screened Poisson equation。現在也发展出很多種數值解,如松弛法英语relaxation method(一种迭代法)。

数学表达

通常泊松方程式表示为

 

这里 代表拉普拉斯算子 为已知函数,而 为未知函数。当  时,这个方程被称为拉普拉斯方程

为了解泊松方程我们需要更多的信息,比如狄利克雷边界条件:

 

其中   为有界开集

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解,拉普拉斯方程的基础函数为:

 

其中 为n维欧几里得空间中单位球面的体积,此时可通过卷积 得到  的解。

为了使方程满足上述边界条件,我们使用格林函数

 

  为一个校正函数,它满足

 

通常情况下 是依赖于 

通过  可以给出上述边界条件的解

 

其中  表示 上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。

靜電學

靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題,因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電位的問題。在國際單位制SI)中:

 

 代表電勢(單位為伏特), 體電荷密度(單位為庫侖/立方公尺),而 真空電容率(單位為法拉/公尺)。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子,則

 

此方程式就變成拉普拉斯方程

 

高斯電荷分佈的電場

如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度  

 

此處,Q代表總電荷

此泊松方程式:  的解Φ(r)則為

 

erf(x)代表的是误差函数.

注意:如果r遠大於σ,erf(x)趨近於1,而電場Φ(r)趨近點電荷電場  ;正如我們所預期的。

參閱

参考文献

引用

  1. ^ Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (编), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer: 503, 2005 [2015-05-30], ISBN 9780922152766, (原始内容存档于2020-11-20) .

来源

外部链接