模糊数学 ，亦称弗晰数学 或模糊性数学 。1965年以后，在模糊集合 、模糊逻辑 的基础上发展起来的模糊拓扑 、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别 、人工智能 等方面有广泛的应用。
给定一个论域 U ，那么从 U 到单位区间 [0,1] 的一个映射
μ
A
:
U
↦
[
0
,
1
]
{\displaystyle \mu _{A}:U\mapsto [0,1]}
U 上的一个模糊集 或 U 的一个模糊子集
[ a] A 。
映射（函数） μA (·) 或简记为 A (·) 叫做模糊集 A 的隶属函数 。
对于每个 x ∈ U ， μA (x ) 叫做元素 x 对模糊集 A 的隶属度 。
模糊集的常用表示法有下述几种：
解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。
Zadeh 记法，例如
A
=
1
x
1
+
0.5
x
2
+
0.72
x
3
+
0
x
4
{\displaystyle A={1 \over x_{1}}+{0.5 \over x_{2}}+{0.72 \over x_{3}}+{0 \over x_{4}}}
序偶法，例如
A
=
{
(
x
1
,
1
)
,
(
x
2
,
0.5
)
,
(
x
3
,
0.72
)
,
(
x
4
,
0
)
}
{\displaystyle A=\{(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)\}}
向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0) 。
模糊集 A 的承集 或支集 记为
supp
A
=
{
x
∈
U
∣
A
(
x
)
≠
0
}
{\displaystyle {\text{supp}}A=\{x\in U\mid A(x)\neq 0\}}
模糊集 A 的核 记为
ker
A
=
{
x
∈
U
∣
A
(
x
)
=
1
}
{\displaystyle {\text{ker}}A=\{x\in U\mid A(x)=1\}}
模糊集 A 的高度 记为
hgt
A
=
sup
{
A
(
x
)
∣
x
∈
U
}
{\displaystyle {\text{hgt}}A=\sup\{A(x)\mid x\in U\}}
模糊集 A 的深度 记为
dpn
A
=
inf
{
A
(
x
)
∣
x
∈
U
}
{\displaystyle {\text{dpn}}A=\inf\{A(x)\mid x\in U\}}
一个模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的：
设映射 D : F (U ) → [0,1] 满足下述5条性质：
清晰性：D (A ) = 0 当且仅当 A ∈ P (U )。（经典集的模糊度恒为0。）
模糊性：D (A ) = 1 当且仅当 ∀ u ∈ U 有 A (u ) = 0.5。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。）
单调性：∀ u ∈ U ，若 A (u ) ≤ B (u ) ≤ 0.5，或者 A (u ) ≥ B (u ) ≥ 0.5，则 D (A ) ≤ D (B )。
对称性：∀ A ∈ F (U )，有 D (Ac ) = D (A )。（补集的模糊度相等。）
可加性：D (A ∪B ) + D (A ∩B )=D (A ) + D (B )。 则称 D 是定义在 F (U ) 上的模糊度函数 ，而 D (A ) 为模糊集 A 的模糊度 。
可以证明符合上述定义的模糊度是存在的[ 1]
D
p
(
A
)
=
2
n
1
/
p
(
∑
i
=
1
n
|
A
(
u
i
)
−
A
0.5
(
u
i
)
|
p
)
1
/
p
D
(
A
)
=
∫
−
∞
+
∞
|
A
(
u
)
−
A
0.5
(
u
)
|
d
u
{\displaystyle {\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}}
p > 0 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 p = 1 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当 p = 2 的时候称为 Euclid 模糊度。
a
∨
b
=
max
{
a
,
b
}
a
∧
b
=
min
{
a
,
b
}
{\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}}
a
+
∧
b
=
a
+
b
−
a
b
a
⋅
b
=
a
b
{\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}}
a
⊕
b
=
min
{
1
,
a
+
b
}
a
⊙
b
=
max
{
0
,
a
+
b
−
1
}
{\displaystyle {\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}}
a
ϵ
+
b
=
a
+
b
1
+
a
b
a
ϵ
⋅
b
=
a
b
1
+
(
1
−
a
)
(
1
−
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}}
Hamacher 算子，其中ν ∈ [0,+∞) 是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子
a
ν
+
b
=
a
+
b
−
a
b
−
(
1
−
ν
)
a
b
ν
+
(
1
−
ν
)
(
1
−
a
b
)
a
ν
⋅
b
=
a
b
ν
+
(
1
−
ν
)
(
a
+
b
−
a
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}}
Yager 算子，其中 p 是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子
a
Y
p
b
=
min
{
1
,
(
a
p
+
b
p
)
1
/
p
}
a
y
p
b
=
1
−
min
{
1
,
[
(
1
−
a
)
p
+
(
1
−
b
)
p
]
1
/
p
}
{\displaystyle {\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}}
λ -γ 算子，其中 λ ,γ ∈ [0,1] 是参数
a
λ
b
=
λ
a
b
+
(
1
−
λ
)
(
a
+
b
−
a
b
)
a
γ
b
=
(
a
b
)
1
−
γ
(
a
−
a
b
)
γ
{\displaystyle {\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}}
Dobois-Prade 算子，其中 λ ∈ [0,1] 是参数
a
∨
d
b
=
a
+
b
−
a
b
−
min
{
(
1
−
λ
)
,
a
,
b
}
max
{
λ
,
1
−
a
,
1
−
b
}
a
∧
d
b
=
a
b
max
{
λ
,
a
,
b
}
{\displaystyle {\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}}
参见集合代数 和布尔代数 。
主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）：
算子
结合律
交换律
分配律
互补律
同一律
幂等律
支配律
吸收律
双重否定律
德·摩根律
Zedah
√
√
√
.
√
√
√
√
√
√
代数
√
√
.
.
√
.
√
.
-
√
有界
√
√
.
√
√
.
√
√
-
√
线性补偿是指：
(
∀
x
,
y
,
k
∈
[
0
,
1
]
)
(
x
+
k
∧
y
−
k
⇒
U
(
x
+
k
,
y
−
k
)
=
U
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle (\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))}
[ 2]
算子的并运算
幂等律
排中律
分配律
结合律
线性补偿
Zadeh
√
.
√
√
.
代数
.
.
.
√
.
有界
.
√
.
.
√
Hamacher r = 0
.
.
.
√
.
Yager
.
.
.
√
.
Hamacher
.
.
.
√
.
Dobois-Prade
.
.
.
√
.
设
A
∈
F
(
U
)
{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}(U)}
λ
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle \lambda \in [0,1]}
A
λ
=
{
u
∈
U
∣
A
(
u
)
≥
λ
}
{\displaystyle A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}}
称 Aλ 为 A 的 λ 截集 ，而 λ 称为阈值或置信水平。将上式中的 ≥ 替换为 >，记为 ASλ ，称为强截集 。
截集和强截集都是经典集合。此外，显然 A 1 为 A 的核 ，即 kerA ；如果 kerA ≠ ø，则称 A 为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。
截积是数与模糊集的积：λ ∈ [0,1]，A ∈ F (U )，则 ∀ u ∈U ，λ 与 A 的截积 （或称为 λ 截集的数乘 ，记为 λA ）定义为：
(
λ
A
)
(
u
)
=
λ
∧
A
(
u
)
=
{
A
(
u
)
,
λ
≥
A
(
u
)
,
λ
,
λ
<
A
(
u
)
.
{\displaystyle (\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}}
根据定义，截积仍是 U 上的模糊集合。
分解定理 ：A ∈F (U )，则
A
=
⋃
λ
∈
[
0
,
1
]
λ
A
λ
{\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }}
即任一模糊集 A 都可以表达为一族简单模糊集 {λAλ } 的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。
表现定理 ：H 为 U 上的任何一个集合套，则
A
=
⋃
λ
∈
[
0
,
1
]
λ
H
(
λ
)
{\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )}
是 U 上的一个模糊集，且 ∀ λ ∈ [0,1]，有ASλ = ∪α >λ H (α )Aλ = ∩α <λ H (α )
可以使用一般的度量 理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集 F (U ) 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到 [0,1] 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离：
d
~
(
x
,
y
)
=
(
1
n
∑
i
=
1
n
|
x
i
−
y
i
|
p
)
1
p
{\displaystyle {\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}}
另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离 （这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。
除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。
σ
(
A
,
B
)
=
∑
i
=
1
n
(
A
(
u
i
)
∧
B
(
u
i
)
)
∑
i
=
1
n
(
A
(
u
i
)
∨
B
(
u
i
)
)
{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}}
σ
(
A
,
B
)
=
∑
i
=
1
n
(
A
(
u
i
)
∧
B
(
u
i
)
)
1
2
∑
i
=
1
n
(
A
(
u
i
)
+
B
(
u
i
)
)
{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}}
σ
(
A
,
B
)
=
∑
i
=
1
n
(
A
(
u
i
)
∧
B
(
u
i
)
)
∑
i
=
1
n
A
(
u
i
)
⋅
B
(
u
i
)
{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}}
σ
(
A
,
B
)
=
1
e
‖
A
−
B
‖
{\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}}
模糊关系是建立在模糊集上的关系 ，此外，它也有一些特别的性质和应用。
设 U 和 V 是论域，U × V = {(x , y ) | x ∈ U , y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡尔直积，则每个模糊子集 R ∈ U × V 都称为从 U 到 V 的一个模糊关系 。若 U = V ，则称 R 是 U 中的模糊关系。如果 R (x ,y ) = α，则称 x 与 y 具有关系 R 的程度 为 α。特别地：
若 ∀ (x ,y ) ∈ U × U ，当 x = y 时 R = 1，当 x ≠ y 时 R = 0，则称 R 为 U 上的恒等关系，记为 I
若 ∀ (x ,y ) ∈ U × V ，有 R (x ,y ) = 0，则称 R 为从 U 到 V 的零关系，记为 0
若 ∀ (x ,y ) ∈ U × V ，有 R (x ,y ) = 1，则称 R 为从 U 到 V 的全称关系，记为 E 转置 ，定义为
R T x ,y ) = R (y ,x )易知转置运算满足复原律、交换律和单调性等。[ 3]
关系的合成 ：U x-m 到 V y-p 的关系 R ，以及从 V y-p 到 W z-n 的关系 S ，那么从 U 到 W 的模糊复合关系 R · S 为
(
R
∘
S
)
(
x
i
,
z
j
)
=
⋁
k
≤
p
[
R
(
x
i
,
y
k
)
∧
S
(
y
k
,
z
j
)
]
{\displaystyle \displaystyle (R\circ S)(x_{i},z_{j})=\bigvee _{k\leq p}[R(x_{i},y_{k})\wedge S(y_{k},z_{j})]}
其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大（即 Zedah 算子）。由此可知，模糊复合关系的运算，就是两个模糊关系的矩阵的乘法运算，只是要将矩阵乘法中的乘法改为 ∧，而加法改为 ∨ 即可。
例子 ：设 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}：
从 U 到 V 的模糊关系 R
(1,a)=0.7, (1,b)=0.5, (1,c)=0
(2,a)=1, (2,b)=0, (2,c)=0
(3,a)=0, (3,b)=1, (3,c)=0
(4,a)=0, (4,b)=0.4, (4,c)=0.3
从 V 到 W 的模糊关系 S
(a,α)=0,6 (a,β)=0.8
(b,α)=0 (b,β)=1
(c,α)=0 (c,β)=0.9
那么这些模糊关系可以写成如下矩阵表达（注意行列位置）：
R a
b
c
1
0.7
0.5
0
2
1
0
0
3
0
1
0
4
0
0.4
0.3
S α
β
a
0.6
0.8
b
0
1
c
0
0.9
R · S α
β
1
0.6
0.7
2
0.6
0.8
3
0
1
4
0
0.4
模糊等价关系 定义：U 中的模糊关系 R 满足
1. 自反性
∀ x ∈ U , R (x , x ) = 1
2. 对称性
∀ x , y ∈ U , R (x , y ) = R (y , x )
3. 传递性
∀ x , y , z ∈ U , ∀ λ ∈ [0,1], 当 R (x , y ) ≥ λ 且 R (y , z ) ≥ λ 时，R (x , z ) ≥ λ 则称 R 为 U 中的一个模糊等价关系。易知，对于一个固定的 λ ∈ [0,1] 来说，传递性条件刻画了模糊关系 R 具有 λ 水平上的传递性。
下述定理指出了模糊等价关系与普通等价关系的关系：U 中的模糊关系 R 是模糊等价关系的充要条件是，对于每个 λ ∈ [0,1]，R 的 λ 截关系 R λ U 中的普通等价关系。
只满足自反性和对称性，不满足传递性的模糊关系称为模糊相似关系 。而将等价关系与相似关系联系在一起的是下述定理：U 中的模糊关系 R 是模糊传递关系的充要条件是 R 2 ⊆ R 。
分类 ：
如果模糊关系是等价关系，取某一水平的 λ 截集，即可得到这个水平上的分类。
如果模糊关系是相似关系，计算 R * ≡ R 2^k = R 2^(k +1) ，则 R * 可被证明是等价关系。
^ 要注意：严格地说，模糊集或子集是映射所确定的序对集 ，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。
^ 陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第20页。
^ Etienne E. Kerre 等，模糊集理论与近似推理，武汉大学出版社，2004年，第103页。
^ 陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第62页。
![{\displaystyle \mu _{A}:U\mapsto [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f930f28219c0c358306e0b982313b334d82b4e9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43f0856477bea4a60748e7c35ccfe030bcc0d89)
![{\displaystyle (\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48e6a1d2053117ae92594e5e0949505e8980c60a)
![{\displaystyle \lambda \in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010c0ee88963a09590dd07393d288edd83786b91)
![{\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f80a983d56126a1477e8e68eec5580845cfa09)
![{\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2d1db5dc7e0efda1441250e7dec31989caa35f)
![{\displaystyle \displaystyle (R\circ S)(x_{i},z_{j})=\bigvee _{k\leq p}[R(x_{i},y_{k})\wedge S(y_{k},z_{j})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d23f8723139f121e5307c1bbe838bdd52e8428)