巴拿赫代数
泛函分析中,得名于斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代数是实数或复数(或非阿基米德完备赋范域)上的结合代数A,同时也是巴拿赫空间,即在范数导出的度量中完备的赋范空间。范数要满足
这确保了乘法运算连续。
若巴拿赫代数对乘法有范数为1的单位元,则称其是含幺的(unital)。若其乘法是可交换的,则称其可交换。任意巴拿赫代数A(无论有无单位元)都可等距同构地嵌入含幺巴拿赫代数,从而形成的闭理想。通常会先验地假设所考虑的代数是含幺的:因为可以先考虑,再在原始代数中应用结果,来发展许多理论。不过并非总如此,例如无法在巴拿赫代数中定义不含单位元的三角函数。
实巴拿赫代数的理论可能异于复巴拿赫代数,例如非平凡复巴拿赫代数中元素的谱不会是空的,而实巴拿赫代数中,某些元素的谱可能是空的。
例子
巴拿赫代数的典型例子是 ,即定义在局部紧豪斯多夫空间X上在无穷远处消失的(复值)连续函数空间。当且仅当X是紧空间, 含幺。共轭复数是对合,因此 实际上是C*-代数。更一般地说,C*-代数都是巴拿赫代数。
- 实数(或复数)集是巴拿赫代数,范数为绝对值。
- 若给所有实数或复数n阶方阵集合配备服从乘法范数,就成为含幺巴拿赫代数。
- 取巴拿赫空间 (或 ),范数为 ,并定义乘法分量形式:
- 四元数形成了4维实巴拿赫代数,范数为四元数的绝对值。
- 定义在某集合(具有逐点乘和上确范数)上的有界实值或复值函数的代数是含幺巴拿赫代数。
- 某局部紧空间(具有逐点乘和上确范数)上的有界连续实值或复值函数的代数是巴拿赫代数。
- 巴拿赫空间E(以函数复合为乘法,以算子范数为范数)上的连续线性算子的代数是含幺巴拿赫代数。E上所有紧算子的集合是巴拿赫代数,也是闭理想。若 ,则没有单位元。[1]
- 若G是局部紧豪斯多夫拓扑群, 是其哈尔测度,则G上所有 可积函数的巴拿赫空间 在卷积 下成为巴拿赫代数。[2]
- 一致代数:巴拿赫代数,是复代数 的子代数,具有上确范数,包含常数并分离了X的点(必须是紧豪斯多夫空间)。
- 自然巴拿赫函数代数:一致代数,其所有特征都在X的点上取值。
- C*-代数:某希尔伯特空间上有界算子的代数的闭*-子代数,是巴拿赫代数。
- 测度代数:包含某局部紧群上所有拉东测度的巴拿赫代数,测度之积由卷积给出。[2]
- 四元数代数 是实巴拿赫代数,不是复代数,因为四元数的中心是实数。
- 仿射体代数(affinoid algebra)是非阿基米德域上的一种巴拿赫代数,是刚性解析几何的基本构件。
性质
一些由幂级数定义的初等函数可在任意含幺巴拿赫代数中定义,如指数函数和三角函数,及更一般的任意整函数(特别地,指数映射可用于定义抽象索引群)。几何级数公式在一般含幺巴拿赫代数中仍有效。二项式定理对巴拿赫代数中两个交换元也成立。 任何含幺巴拿赫代数中的可逆元集合都是开集,其上的逆运算是连续的(因此是同胚),所以形成了乘法下的拓扑群。[3]
若巴拿赫代数有幺元 ,则 不可能是交换子;即 。这是因为 若不是 ,则具有相同的谱。
上述例子给出的各种函数代数具有与标准代数(如实数)迥异的性质,例如:
谱理论
复数域上的含幺巴拿赫代数为谱理论提供了一个一般环境。元素 的谱记作 ,包含所有使 在A中不可逆的复标量 。任意元素x的谱是 中半径为 、圆心在 的闭圆盘的闭子集,于是也是紧的。另外,元素x的谱 也非空,满足谱半径公式:
给定 ,全纯函数微积分允许为在 的邻域全纯的任意函数f定义 ;此外,谱映射定理成立:[5]
若巴拿赫代数A是复巴拿赫空间X上的有界线性算子的代数 (例如方阵的代数),则A中的谱与算子理论中的谱重合。对 (紧豪斯多夫空间X),可见:
C*-代数的正规元素x的范数与谱半径重合,这推广了正规算子的类似事实。
令A为复含幺巴拿赫代数,当中非零元x都可逆(是除代数)。 ,都有 使 不可逆(因为a的谱非空),于是 代数A自然同构于 (盖尔范德-马祖尔定理的复数情形)。
理想与特征
令A为 上的含幺交换巴拿赫代数。由于A是含幺交换环,A的不可逆元属于A的某极大理想。由于极大理想 是闭的, 是巴拿赫代数且是域,且由盖尔范德-马祖尔定理,A的最大理想集与非零同胚 集 之间有双射。集合 称作A的“结构空间”或“特征空间”,元素为“特征”。
特征 是A上的线性泛函,是乘法函数( 且满足 。)每个特征都是 且自动连续,因为特征的核是最大理想,是闭的;而且范数(即算子范数)为1。装备了A上逐点收敛拓扑(即由 的弱*-拓扑诱导的拓扑)后,特征空间 是豪斯多夫紧空间。
q在 是x的盖尔范德表示,定义如下: 是连续函数 ,由 给出。 的谱也是作为紧空间 上复连续函数的代数 的元素的谱。显式地写,
作为代数,当且仅当含幺交换巴拿赫代数的盖尔范德表示具有平凡核,其是半单的(即其雅各布森根为零)。这种代数的重要例子是交换C*-代数。事实上,若A是交换含幺C*-代数,则其盖尔范德表示是 间的等距*-同构。[a]
巴拿赫*-代数
巴拿赫*-代数A是复数域上的巴拿赫代数,以及映射 ,满足如下性质:
也就是说,巴拿赫*-代数是 上的巴拿赫代数,也是*-代数。
在大多数自然例子中,还需要对合是等距的,即 有人把这性质纳入了巴拿赫*-代数的定义。
巴拿赫*-代数满足 是C*-代数。
另见
注释
- ^ 证明:由于交换C*-代数的元素都是正规的,所以盖尔范德表示是等距的;特别是,其是单射,像是闭的。盖尔范德表示的像由魏尔施特拉斯逼近定理是稠密的。
参考文献
- ^ Conway 1990,Example VII.1.8.
- ^ 2.0 2.1 Conway 1990,Example VII.1.9.
- ^ Conway 1990,Theorem VII.2.2.
- ^ García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez. A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem. Proceedings of the American Mathematical Society. 1995, 123 (9): 2663–2666 [2023-12-22]. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160559. doi:10.2307/2160559. (原始内容存档于2023-12-25).
- ^ Takesaki 1979,Proposition 2.8.
- Bollobás, B. Linear Analysis . Cambridge University Press. 1990. ISBN 0-521-38729-9.
- Bonsall, F. F.; Duncan, J. Complete Normed Algebras. New York: Springer-Verlag. 1973. ISBN 0-387-06386-2.
- Conway, J. B. A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics 96. Springer Verlag. 1990. ISBN 0-387-97245-5.
- Dales, H. G.; Aeina, P.; Eschmeier, J; Laursen, K.; Willis, G. A. Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis. Cambridge University Press. 2003. ISBN 0-521-53584-0. doi:10.1017/CBO9780511615429.
- Mosak, R. D. Banach algebras. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press). 1975. ISBN 0-226-54203-3.
- Takesaki, M. Theory of Operator Algebras I. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 124 1st. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. 1979. ISBN 978-3-540-42248-8. ISSN 0938-0396.