賦範向量空間

在数学中，赋范向量空间（英語：Normed vector space）是具有“长度”概念的向量空间。是通常的欧几里得空间 $\mathbb {R}$ 的推广。 $\mathbb {R}$ 中的长度被更抽象的范数替代。“长度”概念的特征是：

零向量的长度是零，并且任意向量的长度是非负实数。
一个向量 $v$ 乘以一个标量 $a$ 时，长度应变为原向量 $v$ 的 $|a|$ （ $a$ 的绝对值）倍。
三角不等式成立。也就是说，对于两个向量 $v$ 和 $u$ ，它们的长度和（“三角形”的两边和）大于 $v+u$ （第三边）的长度。

一个把向量映射到非负实数的函数如果满足以上性质，就叫做一个半范数；如果只有零向量的函数值是零，那么叫做范数。拥有一个范数的向量空间叫做赋范向量空间，拥有半范数的叫做半赋范向量空间。

定义

一个半赋范向量空间（E,p）由一个向量空间 E 以及一个 E 上的半范数 p 构成。

一个赋范向量空间（E,||·||）由一个向量空间 E 以及一个 E 上的范数 ||·|| 构成。

拓扑结构

设（E,||·||）是一个赋范向量空间，那么由范数 ||·|| 很自然地定义了一个拓扑上的距离：

\mathbb {E} \times \mathbb {E} \longrightarrow \mathbb {R}

\ (x,y)\mapsto \Vert x-y\Vert

由此就定义了一个 E 上的拓扑结构，称为范数 ||·||诱导的自然拓扑。这也是使得函数 ||·|| 连续的最弱的拓扑。此外，这个自然拓扑和向量空间的线性结构相容，因为：

向量加法：+ 在此拓扑下是连续的，这可以由范数的三角不等式性质得出。
向量的数量乘法·在此拓扑下是连续的，这也可由范数的线性性和三角不等式性质得出。

对于半赋范向量空间，可以定义类似的函数，这时 E 成为一个半度量空间（弱于度量空间）。在其中我们也可以定义连续和收敛等概念。更抽象地说，每个半赋范向量空间都是一个拓扑空间，其拓扑结构由它的半范数诱导。

在赋范向量空间中，完备的赋范向量空间特别重要，称为巴拿赫空间。每个赋范向量空间都是一个巴拿赫空间的稠密子空间，这个巴拿赫空间由此赋范向量空间唯一确定，称为它的完备空间。

在拓扑的角度来说，有限维的向量空间上的任意两个范数都是等价的，即它们诱导出相同的拓扑结构（尽管由它们各自定义的度量空间并不相同）。由于欧几里得空间是完备的，我们可以推出每个有限维的赋范向量空间都是巴拿赫空间。实际上对自然拓扑来说，任意有限维的赋范向量空间都同胚于欧几里得空间Rⁿ。

一个赋范向量空间被称为局部紧致的，如果单位球 $B={x\ |\ \Vert x\Vert \leq 1}$ 是紧集。由里斯引理（英语：Riesz's lemma）可知，一个赋范向量空间局部紧致当且仅当它的维数有限。实际上，这个定理证明了对任意的拓扑空间（不一定是由范数诱导的度量空间）都有这个结论。

线性变换和对偶空间

在赋范向量空间之间的线性变换中，最重要的是连续线性变换，赋范向量空间和连续线性变换一起构成一个范畴。

范数自身，作为函数，是连续的。任意两个有限维的赋范向量空间之间的线性变换也都是连续的。

两个赋范向量空间之间的一个等距变换 f 是指使得对任意向量 v 都有||f(v)|| = ||v|| 的线性变换。保距变换总是连续的单射。如果两个赋范向量空间之间的一个等距变换是满射，那么称其为一个等距同构。两个保距同构的赋范向量空间在拓扑的意义上可以说是相等的（拥有相同的性质；在一者中成立的命题，在另一者中也成立）。

对于在域 K 上的赋范向量空间（E,||·||），我们可以考虑它关于||·||的对偶空间 E^* ，也就是所有从 E 射到 K 的连续线性变换（一般称为“函子”）构成的空间。对于一个函子 $\phi$ ，定义它的范数是 $|\phi (v)|$ 的上确界，其中 v 是 E 中范数为 1 的所有向量。由于函子是连续的，这个上确界存在。这样我们就将 E^* 定义成为一个赋范向量空间。关于赋范向量空间上的连续线性函子有哈恩-巴拿赫定理。