圓內接四邊形的日本定理
在几何学中,圓內接四邊形的日本定理指出,圆内接四边形内某些三角形的内心形成一个矩形。
任意圆内四边形被对角线分成四个三角形(每条对角线分出两个三角形)。这些三角形的内心形成一个矩形。
具体而言,设□ABCD为任意圆内接四边形, M1, M2, M3, M4分别为三角形△ABD, △ABC, △BCD, △ACD内心,则M1, M2, M3, M4所构成的四边形为矩形。
证明1
(以下称为 角),因为这两个角都是弦 的周角。
因为
由此可得,
由于这些角相等, 是一个圆内接四边形。
根据圆内接四边形的性质,现在有
同样地,对于 也成立:
角度相加,得到以下结果
由于
所以
以上对于点 之间的其他角度也同样成立,它们都是 。
因此, 是一个矩形。证毕。[1]
证明2
根据Thébault定理(3)有如下结论[2]:
下面开始处理原题。
先标记题目中四个三角形的内心是 、 、 、 .
假设对角线 AC 和 BD 交于 E.
与线段 AE、BE 及外接圆相切的圆的圆心记为 ,
类似地,与线段 BE、CE 及外接圆相切的圆的圆心记为 、与线段 CE、DE 及外接圆相切的圆的圆心记为 、与线段 DE、AE 及外接圆相切的圆的圆心记为 .
设 AE、BE 的夹角是 ,根据上面的Thébault定理(3)有如下结论:
、 、 三点共线,且
同理, 、 、 三点共线,且
所以,
由于 (因为它们沿着角 的角平分线),所以 ,所以 是矩形。证毕。
推广
过 作四边形的对角线的平行线,形成一个平行四边形,由作图可知平行四边形为菱形,于是「与各对角线相切的内切圆半径之和相等」。
该定理可推广到圓內接多邊形的日本定理。
证明了四边形的情况后,可以把一般多边形分成三角形进行归纳而立即证明一般情况。
又见
参考
- ^ 证明 – 圆内接四边形的日本定理 Beweisarchiv – Japanischer Satz für konzyklische Vierecke. Wikibooks. [2024-06-18]. (原始内容存档于2024-06-18) (德语).
- ^ Wilfred Reyes: An Application of Thebault's Theorem (页面存档备份,存于互联网档案馆). Forum Geometricorum, Volume 2, 2002, pp. 183–185
- Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (postscript file)
- Incenters in Cyclic Quadrilateral (页面存档备份,存于互联网档案馆) at Cut-the-Knot
- Wataru Uegaki: "Japanese Theoremの起源と歴史" (页面存档备份,存于互联网档案馆) (On the Origin and History of the Japanese Theorem). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01
- 笹部貞市郎. 几何学辞典: 问题解法. Archive.org. 第587题.
- 沈文选. 第 14 章 1992~1993 年度试题的诠释, 第 1 节 圆内接四边形四顶点组成的四个三角形问题, 命题 6(3). 走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释:历届全国高中数学联赛平面几何试题一题多解(上) (PDF). : 405 [2024-06-19]. ISBN 9787560324418.