图 (数据结构)
在计算机科学中，图（英語：graph）是一种抽象数据类型，用于实现数学中图论的无向图和有向图的概念。
图的数据结构包含一个有限（可能是可变的）的集合作为节点集合，以及一个无序对（对应无向图）或有序对（对应有向图）的集合作为边（有向图中也称作弧）的集合。节点可以是图结构的一部分，也可以是用整数下标或引用表示的外部实体。
图的数据结构还可能包含和每条边相关联的数值（edge value），例如一个标号或一个数值（即权重，weight；表示花费、容量、长度等）。
操作
图数据结构G支持的基本操作通常包括：[1]
adjacent(G, x, y)：查看是否存在从节点x到y的边；neighbors(G, x)：列出所有从x出发的边的另一个顶点y；add_vertex(G, x)：如果不存在，将节点x添加进图；remove_vertex(G, x)：如果存在，从图中移除节点x；add_edge(G, x, y)：如果不存在，添加一条从节点x到y的边；remove_edge(G, x, y)：如果存在，从图中移除从节点x到y的边；get_vertex_value(G, x)：返回节点x上的值；set_vertex_value(G, x, v)：将节点x上的值赋为v。
如果该数据结构支持和边关联的数值，则通常也支持下列操作[1]：
get_edge_value(G, x, y)：返回边(x, y)上的值；set_edge_value(G, x, y, v)：将边(x, y)上的值赋为v。
图的常见数据结构
- 邻接表[2][3]
- 节点存储为记录或对象，且为每个节点创建一个列表。这些列表可以按节点存储其余的信息；例如，若每条边也是一个对象，则将边存储到边起点的列表上，并将边的终点存储在边这个的对象本身。
- 邻接矩阵[4][5]
- 一个二维矩阵，其中行与列分别表示边的起点和终点。顶点上的值存储在外部。矩阵中可以存储边的值。
- 关联矩阵[6]
- 一个二维矩阵，行表示顶点，列表示边。矩阵中的数值用于标识顶点和边的关系（是起点、是终点、不在这条边上等）。
下表给出了在图上进行各种操作的复杂度。其中，用|V|表示节点数量，|E|表示边的数量。同时假设存储的信息是边上对应的值，如果没有对应值则存储∞。
| 邻接表 | 邻接矩阵 | 关联矩阵 | |
|---|---|---|---|
| 空间复杂度 [7] | |||
| 存储一张图 | |||
| 时间复杂度 [8] | |||
| 添加节点 | |||
| 添加边 | |||
| 移除节点 | |||
| 移除边 | |||
| 检查节点x和y是否邻接（假设已知两个节点对应的存储位置） | |||
| 注释 | 移除节点或边速度较慢，因为需要找到相连的边或节点 | 增减节点速度较慢，因为需要修改矩阵的大小 | 增减节点或边速度较慢，因为需要修改矩阵的大小 |
邻接表在稀疏图上比较有效率。邻接矩阵则常在图比较稠密的时候使用，判断标准一般为边的数量|E |接近于节点的数量的平方|V |2；邻接矩阵也在查找两节点邻接情况较为频繁时使用。[9][10]
并行计算
图问题的并行计算主要存在如下几种困难：处理大量的数据、求解非常规的问题、数据不分散、数据存取对计算的比例很高等。[11][12]面对这些困难，并行计算中图的表示和存储方式很重要。如果选取了不合适的表示方式，可能带来不必要的通讯花费，进而影响算法的可扩展性。在本节中，并行计算的共享和分布式存储模型都在考虑之列。
共享存储
在共享存储模型下，图的表示和非并行计算中的场景是相同的，[13]，因为在此模型下，对图表示（如邻接表）的并行读取操作效率已经足够高了。
分布式存储
在分布式存储模型下，通常会采用划分点集 为 个集合 的方式，其中 是并行处理器的数量。随后，这些点集划分及相连的边按照标号分配给每个并行处理器。每个处理器存储原图的一个子图，而那些两个顶点分属两个子图的边则需额外特殊处理。在分布式图算法中，处理这样的边往往意味着处理器之间的通讯。[13]
图的划分需要谨慎地在降低通讯复杂度和使划分均匀之间取舍。[14]但图划分本身就是NP难问题。因此，实践中会使用启发式方法。
图的压缩存储
机器学习、社会网络分析等领域中，有时会处理数万亿条边的图。图的压缩存储可以减少存取和内存压力。霍夫曼编码等一些数据压缩的常见方法是可行的。同时，邻接表、邻接矩阵等也有专门的压缩存储方法以提高效率。[15]
参见
参考资料
- ^ 1.0 1.1 参见Goodrich & Tamassia (2015), Section 13.1.2: Operations on graphs, p. 360。更多细节也可参见Mehlhorn, K.; Näher, S., Chapter 6: Graphs and their data structures, LEDA: A platform for combinatorial and geometric computing, Cambridge University Press: 240–282, 1999.
- ^ Cormen et al. 2001，第528–529頁.
- ^ Goodrich & Tamassia 2015，第361-362頁.
- ^ Cormen et al. 2001，第529–530頁.
- ^ Goodrich & Tamassia 2015，第363頁.
- ^ Cormen et al. 2001，Exercise 22.1-7, p. 531.
- ^ Cormen et al. 2001，第589-591頁.
- ^ Goodrich & Tamassia 2015，§13.1.3.
- ^ Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford, Section 22.1: Representations of graphs, Introduction to Algorithms Second, MIT Press and McGraw-Hill: 527–531, 2001, ISBN 0-262-03293-7.
- ^ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto, Section 13.1: Graph terminology and representations, Algorithm Design and Applications, Wiley: 355–364, 2015.
- ^ Bader, David; Meyerhenke, Henning; Sanders, Peter; Wagner, Dorothea. Graph Partitioning and Graph Clustering. Contemporary Mathematics 588. American Mathematical Society. January 2013. ISBN 978-0-8218-9038-7. doi:10.1090/conm/588/11709 （英语）.
- ^ LUMSDAINE, ANDREW; GREGOR, DOUGLAS; HENDRICKSON, BRUCE; BERRY, JONATHAN. Challenges in Parallel Graph Processing. Parallel Processing Letters. March 2007, 17 (1): 5–20. ISSN 0129-6264. doi:10.1142/s0129626407002843.
- ^ 13.0 13.1 Sanders, Peter; Mehlhorn, Kurt; Dietzfelbinger, Martin; Dementiev, Roman. Sequential and Parallel Algorithms and Data Structures: The Basic Toolbox. Springer International Publishing. 2019 [2021-08-14]. ISBN 978-3-030-25208-3. （原始内容存档于2021-08-17） （英语）.
- ^ Parallel Processing of Graphs (PDF). [2021-08-14]. （原始内容存档 (PDF)于2021-08-25）.
- ^ Besta, Maciej; Hoefler, Torsten. Survey and Taxonomy of Lossless Graph Compression and Space-Efficient Graph Representations. 27 April 2019. arXiv:1806.01799
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外部链接
- Boost Graph Library （页面存档备份，存于互联网档案馆），一个C++的图程序库，例如Boost_C++_Libraries。
- Networkx （页面存档备份，存于互联网档案馆），一个Python图程序库。
- GraphBLAS （页面存档备份，存于互联网档案馆），一个图操作的应用程序接口说明。特别关注了稀疏图。