逆矩阵

(重定向自反矩阵

逆矩陣(inverse matrix),又稱乘法反方陣反矩陣。在线性代数中,給定一个n方陣,若存在一n 階方陣,使得,其中n单位矩阵,則稱可逆的,且逆矩陣,記作

线性代数
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵

只有方陣(n×n 的矩陣)才可能有逆矩陣。若方阵的逆矩阵存在,则称非奇异方阵或可逆方阵。

行列式類似,逆矩陣一般用於求解聯立方程組。

求法

伴随矩阵法

如果矩阵 可逆,则 其中  伴随矩阵  行列式

注意: 中元素的排列特点是 的第 元素是 的第 元素的代数餘子式。要求得 即为求解 余因子矩阵转置矩阵

初等变换法

如果矩阵  互逆,则 。由条件 以及矩阵乘法的定义可知,矩阵  都是方阵。再由条件 以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为 。也就是说,这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是 方阵,且 换而言之,   均为满矩阵)。换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵。

因为对矩阵 施以初等行变换(初等列变换)就相当于在 的左边(右边)乘以相应的初等矩阵,所以我们可以同时对  施以相同的初等行变换(初等列变换)。这样,当矩阵 被变为 时, 就被变为 的逆阵 

性质

  1.  
  2.  
  3.  
  4.   为A的转置
  5.  (det为行列式

广义逆阵

广义逆阵(Generalized inverse)又称伪逆,是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔-彭若斯广义逆,它是由E·H·摩爾羅傑·潘洛斯分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。

参见