几何积分

常微分方程的数值计算中,几何积分是一种保留微分方程的流的精确几何特性的数值方法。

以摆为例

可考虑单摆运动以引出几何积分的研究。

设摆锤质量为 ,摆杆长度为 。设重力加速度为 。用 表示杆偏移垂直方向的角位移,并用 表示摆的动量,则系统的哈密顿量动能势能之和)为

 

其给出哈密顿方程

 

很自然,可将所有 位形空间 看做单位圆 ,这样 就位于圆柱体 上。取 只是因为 空间会更方便绘制。定义  。让我们用一些简单的数值方法对这个系统进行积分。像往常一样,选择常数步长 ,对任意非负整数  。 我们用以下方法:

 显式欧拉);
 (隐式欧拉);
 (辛欧拉);
 (隐式中点法则)。

(注意,辛欧拉法用显式欧拉法处理q,用隐式欧拉法处理 。)

观察到 在哈密顿方程的解曲线上是常数,于是可以描述系统的精确轨迹,是 水平曲线。在 中绘制了系统的精确轨迹和数值解。对显式、隐式欧拉法,分别取 z0 = (0.5, 0)及(1.5, 0);对其他两种方法,分别取 z0 = (0, 0.7);(0, 1.4)及(0, 2.1)。

 
单摆轨迹

显式(或隐式)欧拉法是从原点向外(或向内)的螺旋运动。另两种方法显示了正确的定性行为,隐式中点法则与精确解的吻合程度高于辛欧拉法。

回顾一下,具有1自由度的哈密顿系统的精确流 是保面积的,即

  for all  .

此式很容易手动验证。对我们的单摆例子,可以发现,显式欧拉法的数值流 保面积;即

 

隐式欧拉法也可进行类似计算,行列式为

 

辛欧拉法保面积的:

 

于是 。隐式中点法则具有类似的几何特性。

总结:单摆例表明,除显式、隐式欧拉法不是解决问题的好方法外,辛欧拉法和隐式中点法则与系统的精确流非常吻合,后者更精确。而且后两种方案与精确流都保面积,是几何积分(实际上是辛积分)的两个例子。

活动标架法

活动标架法可用于构建保持ODE对称性的数值方法。龙格-库塔法等现有方法可用活动标架法进行修改,以产生不变版本。[1]

另见

参考文献

阅读更多

  • Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard. Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer-Verlag. 2002. ISBN 3-540-43003-2. 
  • Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian. Simulating Hamiltonian Dynamics. Cambridge University Press. 2005. ISBN 0-521-77290-7. 
  • Budd, C.J.; Piggott, M.D. Geometric Integration and its Applications. Handbook of Numerical Analysis 11. Elsevier. 2003: 35–139. ISBN 9780444512475. doi:10.1016/S1570-8659(02)11002-7. 
  • Kim, Pilwon. Invariantization of Numerical Schemes Using Moving Frames. BIT Numerical Mathematics 47 (3). Springer. 2007: 525–546. doi:10.1007/s10543-007-0138-8.