在纯数学分支抽象代数中,MV-代数(多值代数)是带有二元运算 一元运算 和常量 的满足特定公理的代数结构多值逻辑是 MV-代数的模型

定义

A 是个集合MV-代数代数结构,带有型   的标识(signature)  ,它满足如下恒等式:

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  .

备注:通过前三个公理   是交换幺半群

或者作为替代,MV-代数是一个剩余格   满足额外恒等式

 

Hájek (1998)描述了这两个公式的等同。

例子

一个简单的例子是  ,带有定义为    的运算。

讨论

在多值逻辑中,给定一个 MV-代数 A,一个 A-賦值就是从命题演算中公式的集合到 MV-代数的函数。如果对于所有 A-賦值这个函数把一个公式映射到 1(或  0),则这个公式是一个 A-重言式。因此对于无穷值逻辑(比如模糊逻辑武卡谢维奇逻辑),我们设 [0,1] 是 A 的下层集合来获得 [0,1]-賦值和 [0,1]-重言式(经常就叫做賦值和重言式)。

Chang 发明 MV-代数来研究波蘭數學家扬·武卡谢维奇Jan Łukasiewicz)在 1920 年介入的多值逻辑。Chang 的完备定理(1958, 1959) 声称任何在 [0,1] 区间成立的 MV-代数等式也在所有 MV-代数中成立。通过这个定理,证明了无穷值的武卡谢维奇逻辑可以被 MV-代数所刻画。后来同样适用于模糊逻辑。这类似于在 {0,1} 成立的布尔代数等式在任何布尔代数中也成立,布尔代数因此刻画了标准二值逻辑

引用

  • Chang, C. C. (1958) "Algebraic analysis of many-valued logics," Transactions of the American Mathematical Society 88: 476-90.
  • ------ (1959) "A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms," Transactions of the American Mathematical Society 88: 74-80.
  • Cignoli, R. L. O., D'Ottaviano, I, M. L., Mundici, D., 2000. Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning. Kluwer.
  • Di Nola A., Lettieri A. (1993) "Equational characterization of all varieties of MV-algebras," Journal of Algebra 221: 123-31.
  • Hájek, Petr (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer.

外部链接

参见