二维
若曲线在笛卡尔坐标中为y(x) 作为函数图,则其曲率半径为(假设曲线可进行二阶微分)
其中 |z|为z的绝对值。
如果曲线是关于函数x(t)和y(t)的参数方程,则其曲率半径为
其中
由此启发,该结果可以表示为[2]
其中
n维
若γ : ℝ → ℝn是ℝn中的参数方程曲线,则曲线上每个点的曲率半径ρ : ℝ → ℝ ,由[3]此可知
特殊情况下,若f(t)是从ℝ映射到ℝ的函数,则其图象的曲率半径γ(t) = (t, f (t))为
推导过程
令γ如上,并固定t 。我们想要找到一个与t处的γ零阶、一阶和二阶导数相匹配的参数方程圆的半径ρ 。显然,半径与位置γ(t) 无关,而与速度γ′(t)和加速度γ″(t) 有关。 由向量v和w只能获得三个独立标量,即v · v 、 v · w和w · w 。因此,曲率半径一定是关于这三个标量函数。即 |γ′(t)|2, |γ″(t)|2,γ′(t) · γ″(t) 。 [3]
ℝn中圆的一般参数方程为
其中c ∈ ℝn是圆心(无关,因为它在求导过程中消失), a,b ∈ ℝn是长度为ρ的相互垂直的向量(即, a · a = b · b = ρ2,a · b = 0 ), h : ℝ → ℝ是在t处可两次微分任意函数。
g的相关导数为
若现在将g的导数等同于t处γ的相应导数,可得
关于三个未知数( ρ 、 h′(t)和h″(t) )的三个方程可以求解其中的ρ ,可得曲率半径的公式为:
提高可读性省略参数t ,可得
半圆与圆
对于一个半径为a的在上半平面的半圆
对于一个半径为a的在下半平面的半圆
该半径为a的圆有等于a的曲率半径。
椭圆
在长轴为2a短轴为2b的椭圆中, 长轴的顶点有该椭圆上最小的曲率半径, ; 并且短轴的顶点有该椭圆上最大的曲率半径 R = a2/b。
令椭圆的曲率半径是关于参数t的方程, 即[4]
其中
令椭圆的曲率半径是关于参数θ的方程, 即
其中椭圆的偏心率e, 是