魏爾斯特拉斯-恩內佩爾曲面

在微分幾何中，魏爾斯特拉斯-恩內佩爾參數化（WE曲面、魏恩曲面、Weierstrauss-Enneper surfaces）是二維極小曲面^[1]的參數化。

它以恩內佩爾（Enneper）和魏爾斯特拉斯的名字命名。他們在1863年發現了這個參數化。

設 f 是解析函數、g 是亞純函數、fg² 是全純函數、c₁, c₂, c₃ 是常數。若(x₁,x₂,x₃)是曲面M的坐標以及

${\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=Re\left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=if(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}$

則M是極小流形。^[2]逆命題也是事實：若曲面M有上面的參數化，則M是極小的。^[3]

比方說，恩內佩爾曲面具有 $f(z)=1,\ g(z)=z^{m}$ 。

Costa曲面（英語：Costa surface）使用魏爾斯特拉斯橢圓函數。^[2]

g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}

f(\omega )=\wp (\omega )

參考文獻

^ Hua, H. and Jia, T., 2018. Wire cut of double-sided minimal surfaces. The Visual Computer, 34(6-8), pp.985-995.
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Sharma, R.: The weierstrass representation always gives a minimal surface. arXiv preprint
arXiv:1208.5689
(2012)
^ Dierkes, U., Hildebrandt, S., Küster, A., Wohlrab, O. Minimal surfaces, vol. I, p. 108. Springer 1992. ISBN 3-540-53169-6

[1] Hua, H. and Jia, T., 2018. Wire cut of double-sided minimal surfaces. The Visual Computer, 34(6-8), pp.985-995.

[:0-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Sharma, R.: The weierstrass representation always gives a minimal surface. arXiv preprint
arXiv:1208.5689
(2012)

[DHWK-3] Dierkes, U., Hildebrandt, S., Küster, A., Wohlrab, O. Minimal surfaces, vol. I, p. 108. Springer 1992. ISBN 3-540-53169-6

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