驢橋定理

驢橋定理拉丁語Pons asinorum),也稱為等腰三角形定理,是在歐幾里得幾何中的一個數學定理,是指等腰三角形二腰對應的二底角相等。此定理出現在歐幾里得幾何原本第一卷命題五。

Byrne版幾何原本中,驢橋定理的內容,有列出部份歐幾里得的證明

有關其名稱驢橋定理的由來有二種:一種是幾何原本中的示意圖即為一座橋;另外一種較為大家接受的說法,則是指這是幾何原本中第一個對於讀者智力的測試,並且做為後續更困難命題的橋梁[1]幾何學是列在中世紀四術之中,驢橋定理是在幾何原本的前面出現的較困難命題,是數學能力的一個門檻,也稱之為「笨蛋的難關」[2],無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題。

無論其名稱的由來為何,驢橋定理一詞已變成了一種隱喻,暗示對能力或了解程度的關鍵測試,可以區分了解及不了解的人[3]

證明

歐幾里得的證明

 
歐幾里得幾何原本第一卷的命題五

歐幾里得的證明包括第二個結論,就是若三角形的二腰延伸超過底邊,則二腰延長線和底邊的夾角也會相等。歐幾里得的證明中包括了繪製二腰延長線的輔助線,但當時的數學家普羅克魯斯指出他沒有用到第二個結論,而且若在三角形內部繪輔助線,會使證明比較簡單。歐幾里得的證明用到稱為SAS的三角形全等,是幾何原本中的上一個命題。[4]

其他證明方式

 
人教版數學教科書證明

在教科書(例如人教版數學教科書在八年級「軸對稱」一章)上常見的作法是作頂角A的角平分線[5]。此證明方式比歐幾里德的簡單,但在幾何原本中命題9才是作角平分線[6],因此若幾何原本中在命題5就使用角平分線,會有循環論證的問題。

其證明如下:

  1. 令三角形為ABC,其中線段AB = 線段AC。
  2. 作角BAC的角平分線,和線BC交與X點。
  3. 線段AB = 線段AC,線段AX和自身等長,而且角BAX = 角CAX,因此依照SAS全等,三角形BAX和CAX全等,因此可得角B和角C相等。

勒讓德在《幾何原理英語Éléments de géométrie》用了一個類似的方式證明,不過令X是線段BC的中點[7]。其證明方式類似,但是會用到SSS全等,而在歐幾里德的幾何原本未提到SSS全等。

帕普斯在約公元300年用了一個非常簡短的方法證明: 等腰三角形ABC中, AB=AC, BC=CB, CA=BA, 則三角形ABC與ACB全等(SSS), 故三角形ABC 兩底角相等 Q.E.D. 在約1960年,赫伯特·吉倫特英語Herbert Gelernter編寫的程序也得到了相同的證明。[8]

用作隱喻的驢橋定理

相關條目

  • 示播列:舊約聖經中試驗是否為以法蓮人的一句話,是用來區別一個人的社會或地區背景的指標。

參考資料

  1. ^ D.E. Smith History of Mathematics (1958 Dover) p. 284
  2. ^ 吳任哲. 利用『驢橋定理』探討國中教師之數學教學. HPM通訊第四卷8,9期合刊. [2013-08-21]. (原始內容存檔於2013-08-04). 
  3. ^ Pons asinorum - Definition and More from the Free Merriam. [2013-08-21]. (原始內容存檔於2010-02-20). 
  4. ^ 第一卷命題五. [2016-07-02]. (原始內容存檔於2016-07-10). 
  5. ^ 例如J.M. Wilson Elementary geometry (1878 Oxford) p. 20
  6. ^ 洪萬生. 驢橋定理. 科學月刊1983年4月160期. [2013-08-21]. [永久失效連結]
  7. ^ A. M. Legendre Éléments de géométrie (1876 Libr. de Firmin-Didot et Cie) p. 14
  8. ^ 侯世達. 哥德爾、艾舍爾、巴赫——集異壁之大成. 商務印書館. 1996 p. 796
  9. ^ 9.0 9.1 A. F. West & H. D. Thompson "On Dulcarnon, Elefuga And Pons Asinorum as Fanciful Names For Geometrical Propositions" The Princeton University bulletin Vol. 3 No. 4 (1891) p. 84
  10. ^ Henry Dunning Macleod The Elements of Economics (1886 D. Appleton) Vol. 2 p. 96