餘有限空間

若給定一個集合 $X$ ， $Y$ 為 $X$ 的子集，使得差集 $X-Y$ 為有限集合，則稱 $Y$ 為 $X$ 的餘有限集（cofinite）。

類似地，若給定一個集合 $X$ ， $Y$ 為 $X$ 的子集，使得差集 $X-Y$ 為可數集，則稱 $Y$ 為餘可數集（cocountable）。

上述的東西都是一些很自然地推廣，當我們開始從有限集合進入到無限集合時。

餘有限拓撲

餘有限拓撲是收集集合 $X$ 內所有子集 $Y$ 與集合 $X$ 的相對差集為有限集合的集合 $Y$ ，並將 $Y$ 定義為開集的拓撲，這樣的拓撲空間稱為餘有限空間。符號上，

{\mathcal {T}}=\{A\subseteq X\mid A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}

性質

餘有限拓撲的性質有：

可傳子：餘有限空間的子空間也是餘有限的。
緊緻、列緊
T₁空間而非T₂空間
Lindelöf空間
連通空間
可析空間
餘有限拓撲是最粗糙的T₁空間：所有X 上的T₁拓樸必定包含X 的餘有限拓撲。
若X 是有限的，則X 上的餘有限拓樸與離散撲拓相同。

類似地可定義餘可數空間。它必是Lindelöf空間和連通空間。

例子

EX1

我們讓 $X=\mathbb {N}$ ，則集合 $\{3,4,5\}$ , $\{2\}$ , $\{1,3,5,7\}$ 都是有限集合，因此他們的補集 $\{1,2,6,7,8,...\}$ , $\{1,3,4,5,6,7,8,...\}$ , $\{2,4,6,8,9,...\}$ 都是餘有限拓樸內裡。

但是並不是所有的無限集合都會在餘有限拓樸中，例如我們取所有偶數的集合，他顯然是自然數的子集，但是他不在餘有限拓樸中，因為他的補集並不是有限的。同樣的道理，所有奇數的集合也不在餘有限拓樸中。

參考文獻

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446 (See example 18)