非線性系統

物理科學中,如果描述某個系統的方程式其輸入(自變數)與輸出(應變數)不成正比,則稱為非線性系統。由於自然界中大部分的系統本質上都是非線性的,因此許多工程師、物理學家、數學家和其他科學家對於非線性問題的研究都極感興趣。非線性系統和線性系統最大的差別在於,非線性系統可能會導致混沌、不可預測,或是不直觀的結果。

一般來說,非線性系統的行為可以用一組非線性聯立方程式來描述。非線性方程式裡含有由未知數構成的非線性函數;換句話說,一個非線性方程式並不能寫成其未知數的線性組合。非線性微分方程式,則是指方程式裡含有未知函數及其導函數的乘冪不等於一的項。在判定一個方程式是線性或非線性時,只需考慮未知數(或未知函數)的部分,不需要檢查方程式中是否有已知的非線性項。例如在微分方程式中,若所有的未知函數、未知導函數皆為一次,即使出現由某個已知變數所構成的非線性函數,仍稱它是線性微分方程式。

由於非線性方程式非常難解,因此常常需要以線性方程式來近似一個非線性系統(線性近似)。這種近似對某範圍內的輸入值(自變數)是很準確的,但線性近似之後反而會無法解釋許多有趣的現象,例如孤波混沌[1]奇異點。這些奇特的現象,也常常讓非線性系統的行為看起來違反直覺、不可預測,或甚至混沌。雖然「混沌的行為」和「隨機的行為」感覺很相似,但兩者絕對不能混為一談;也就是說,一個混沌系統的行為絕對不是隨機的。

舉例來說,許多天氣系統就是混沌的,微小的擾動即可導致整個系統產生各種不同的複雜結果。就目前的科技而言,這種天氣的非線性特性即成了長期天氣預報的絆腳石。

某些書的作者以非線性科學來代指非線性系統的研究,但也有人不以為然:

「在科學領域裡使用『非線性科學』這個詞,就如同把動物學裡大部分的研究對象稱作『非大象動物』一樣可笑。」

定義

在數學上,一個線性函數映射  擁有以下兩個性質:

  • 疊加性: 
  • 齊次: 

α有理數的情況下,一個可疊加函數必定是齊次函數(在討論線性與否時,齊次函數專指一次齊次函數);若  連續函數,則只要 α 是任意實數,就可以從疊加性推出齊次。然而在推廣至任意複數 α 時,疊加性便再也無法導出齊次了。也就是說,在複數的世界裡存在一種反線性映射,它滿足疊加性,但卻非齊次。疊加性和齊次這兩個條件常會被合併在一起,稱之為疊加原理

 

對於一個表示為

 

的方程式,如果   是一個線性映射,則稱為線性方程式,反之則稱為非線性方程式。另外,如果  ,則稱此方程式齊次(齊次在函數和方程式上的定義不同,齊次方程式指方程式內沒有和 x 無關的項 C,即任何項皆和 x 有關)。

這裡   的定義是很一般性的,  可為任何數字、向量、函數等,而   可以指任意映射,例如有條件限制(給定初始值邊界值)的微分或積分運算。如果   內含有對   的微分運算,此方程式即是一個微分方程式。

非線性代數方程式

代數方程式又稱為多項式方程式。令某多項式等於零可得一個多項式方程式,例如:

 

利用勘根法可以找出某個代數方程式的解;但若是代數方程組則較為複雜,有時候甚至很難確定一個代數方程組是否具有複數解(見希爾伯特零點定理)。即使如此,對於一些具有有限個複數解的多項式方程組而言,我們已經找到解的方法,並且也已充分了解這種系統的行為[3]。代數方程組的研究是代數幾何裡重要的一環,而代數幾何正是現代數學裡的其中一個分枝。

非線性遞迴關係

若將一個序列前項和後項之間的關係定義成某個非線性映射,則稱為非線性遞迴關係,例如單峰映射侯世達數列英語Hofstadter sequence。由非線性遞迴關係構成的非線性離散模型,在實際應用中包括 NARMAX(Nonlinear AutoRegressive Moving Average with eXogenous inputs,外部輸入非線性自迴歸移動平均)模型、非線性系統辨識和分析程序等。[4]這些方法可以用來分析時域頻域和時空域(spatio-temporal domains)裡複雜的非線性行為。

非線性微分方程式

若描述一個系統的微分方程式是非線性的,則稱此系統為非線性系統。含有非線性微分方程式的問題,系統彼此間的表現差異極大,而每個問題的解法或是分析方法也都不一樣。非線性微分方程式的例子如流體力學的納維-斯托克斯方程式,以及生物學的洛特卡-沃爾泰拉方程式

解非線性問題最大的難處在於找出未知的解:一般來說,我們無法用已知的解來拼湊出其他滿足微分方程式的未知解;而在線性的系統裡,卻可以利用一組線性獨立的解,透過疊加原理組合出此系統的通解。例如滿足狄利克雷邊界條件的一維熱傳導問題,其解(時間的函數)可以寫成許多不同頻率之正弦函數的線性組合,而這也讓它的解很彈性、具有很大的變化空間。通常我們可以找到非線性微分方程式的特解,但由於此時疊加原理並不適用,故無法利用這些特解來建構出其他新的解。

常微分方程式

一階常微分方程式常常可以利用分離變數法來解,特別是自守方程式

 

例如

 

這個方程式的通解為  ,特解為 u = 0(即通解在 C 趨近於無限大時的極限)。此方程式是非線性的,因為它可以被改寫為

 

而等號左邊並不是 u 的線性映射。若把此式的 u2 換成 u,則會變成線性方程式(指數衰減)。

二階和高階非線性常微分方程組的解幾乎無法表示成解析解,反而較常表為隱函數或非初等函數積分的形式。

分析常微分方程式常用的方法包括:

偏微分方程式

研究非線性偏微分方程式最常見也最基礎的方法就是變數變換,變換以後的方程式會較簡單,甚至有可能會變成線性方程式。有時候,變數變換後的方程式可能會變成一個或兩個以上的常微分方程式(如同用分離變數法解偏微分方程式),不管這些常微分方程式可不可解,都能幫助我們了解這個系統的行為。

另一個流體力學和熱力學裡常用的方法(但數學性較低),是利用尺度分析來簡化一個較一般性的方程式,使它僅適用在某個特定的邊界條件上。例如,在描述一個圓管內一維層流的暫態時,我們可以把非線性的納維-斯托克斯方程式簡化成一個線性偏微分方程式;這時候尺度分析提供了兩個特定的邊界條件:一維和層流。

其他分析非線性偏微分方程式的方法還有特徵線法,以及上述分析常微分方程式時常用的方法。

單擺

 
單擺(v 表示速度向量;a 表示加速度向量)

非線性問題的一個典型的例子,就是重力作用之下單擺的運動。單擺的運動可由以下的方程式來描述(用拉格朗日力學可以證明[5]):

 

這是一個非線性且無因次的方程式,  是單擺和它靜止位置所夾的角度,如動畫所示。此方程式的一個解法是將   視為積分因子,積分以後得

 

上述的解是隱解的形式,同時也包含了橢圓積分。這個解通常沒有什麼用,因為非初等函數積分(即使   仍然是非初等函數)把解的各種特性隱藏了起來,使我們不易看出單擺系統的行為。

另一個解法是把這個非線性方程式作線性近似:利用泰勒展開式將非線性的 sine 函數線性化,並在某些特定的點附近討論解的情形。例如,若在   的點附近作線性近似(又稱小角度近似),  時, ,故原方程式可以改寫為

 

近似後的方程式變成了簡諧振盪,因此當單擺運動到底部附近時,可以對應到一個簡諧振子。而若在  (即當單擺運動到圓弧的最高點時)附近作線性近似, ,故原方程式可以改寫為

 

這個方程式的解含有雙曲正弦函數,因此和小角度近似不同,這個近似是不穩定的,也就是說   會無限制地增加(但此近似方程式的解也可能是有界的)。當我們把解對應回單擺系統後,就可以了解為什麼單擺在圓弧的最高點時不能達到穩定平衡,也就是說,單擺在最高點時是不穩定的狀態。

另一個有趣的線性近似是在   附近,此時  ,故原方程式可以改寫為

 

這個近似後的方程式可以對應到自由落體。

若把以上線性近似的結果合在一起看,就能大致了解單擺的運動情形。利用其他解非線性微分方程式的方法,可以進一步幫助我們找到更精確的相圖,或是估算單擺的週期。

非線性表現(列舉)

  • 古典混沌(和量子混沌相對)—— 指系統裡無法預測的行為。
  • 多穩態 —— 指系統在兩個或多個互斥的狀態之間切換。
  • 週期振盪 —— 指一個函數在任何週期上都不會固定重複其函數值(也稱作混沌振盪)。
  • 振幅死亡英語Amplitude death —— 指系統內的某振盪因系統的自回饋或受其他系統影響而停止的現象。
  • 孤波 —— 指行進中能自我增強而不消散的孤立波。

非線性方程式(列舉)

分析非線性系統

參見

參考資料

  1. ^ Nonlinear Dynamics I: Chaos 網際網路檔案館存檔,存檔日期2008-02-12. at MIT's OpenCourseWare頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
  2. ^ Campbell, David K. Nonlinear physics: Fresh breather. Nature. 25 November 2004, 432 (7016): 455–456 [2016-11-13]. ISSN 0028-0836. doi:10.1038/432455a. (原始內容存檔於2011-10-11) (英語). 
  3. ^ Lazard, D. Thirty years of Polynomial System Solving, and now?. Journal of Symbolic Computation. 2009, 44 (3): 222–231. doi:10.1016/j.jsc.2008.03.004. 
  4. ^ Billings S.A. "Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains". Wiley, 2013
  5. ^ David Tong: Lectures on Classical Dynamics. [2016-11-13]. (原始內容存檔於2021-04-14). 

延伸閱讀

外部連結