零因子

在抽象代數中，一個環的一個非零元素 a 是一個左零因子，若且唯若存在一個非零元素 b，使得 ab=0。類似的，一個非零元素 a 是一個右零因子，若且唯若存在一個非零元素 b，使得 ba=0。左零因子和右零因子通稱為零因子（zero divisor）。。在交換環中，左零因子與右零因子是等價的。一個既不是左零因子也不是右零因子的非零元素稱為正則的。

例子

• 整數環 $\mathbb {Z}$ 沒有零因子，但是在環 $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ 中，有 $(0,n)\times (m,0)=(0,0)$ ，於是 $(0,n)$ 和 $(m,0)$ 都是零因子。

• 在商環 $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ 中，同餘類 $4$ （即 $4+6\mathbb {Z}$），是一個零因子，因為 $3\times 4$ 是同餘類 $0$。

• 在方矩陣組成的環中，不可逆矩陣都是零因子。例如：

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}$

因為

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

• 　更一般地說，在某些域上的 ｎ×ｎ 的矩陣組成的環中，左零因子也就是右零因子（實際上就是所有的非零的奇異矩陣）。在某些整環上的 ｎ×ｎ 的矩陣組成的環中，零因子就是所有行列式為0的非零矩陣。

• 下面給出一個環中的左零因子和右零因子的例子，它們都不是零因子。
  • 令 S 為所有整數數列的集合，則 S 到 S 的映射，對於數列的加法和映射的複合，成為一個環 End(S),。
  • 考慮以下三個映射：右移映射：R(a₁, a₂,a₃,...) = (0, a₁, a₂,...)， 左移映射：L(a₁, a₂,a₃,... ) = (a₂, a₃,...)，以及只保留首項的映射： T(a₁, a₂,a₃,... ) = (a₁, 0, 0, ... )
  • LT ＝ TR ＝ 0，所以 L 是一個左零因子，R 是一個右零因子。但是 L 不是右零因子，R 也不是左零因子。因為 LR 便是恆等映射。也就是說，如果有一個映射 f 使得 fL= 0，那麼 0＝(fL)R = f(LR)= f1 = f，f 必然是 0，於是 L 不可能是右零因子。同理，R 也不可能是左零因子。
  • 實際上，我們可以將 S 到 S 的映射看作可數階數的矩陣，於是左移映射 L 就可以表示為：

$A={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&\\0&0&1&0&0&\cdots \\0&0&0&1&0&\\0&0&0&0&1&\\&&\vdots &&&\ddots \end{pmatrix}}$

• 同理 R 則是 L 的轉置矩陣（同時也是 L 的逆矩陣）。可以看出這個例子在有限階矩陣中是無法構造的。

性質

• 左零因子或右零因子不可能是可逆元素。

• 任意的非零的等冪元 a ≠ 1 都是零因子，因為由 a² = a 可推出 a(a − 1) = (a − 1)a = 0。此外，冪零元素是當然的零因子。

• 一個非退化的交換環（0 ≠ 1）若沒有零因子，則是一個整環。

• 商環 Z/nZ 包含零因子，若且唯若 n 是合數。如果 n 是質數，Z/nZ 是一個域，因而沒有零因子，因為每個非零元素都是可逆的。

• 在凱萊-迪克森結構下的十六元數中，也包含了零因子。

參見

• 環
• 整環