邏輯運算子

形式邏輯中,邏輯運算子邏輯聯結詞把語句連接成更複雜的複雜語句。例如,假設有兩個邏輯命題,分別是「正在下雨」和「我在屋裡」,我們可以將它們組成複雜命題「正在下雨,並且我在屋裡」或「沒有正在下雨」或「如果正在下雨,那麼我在屋裡」。一個將兩個語句組成的新的語句或命題叫做複合語句複合命題。又稱邏輯運算子(Logical Operators)。

基本運算子

基本的運算子有:「」(¬)、「」(∧)、「」(∨)、「條件」(→)以及「雙條件」(↔)。「非」是一個一元運算子,它只操作一項(¬ P)。剩下的是二元運算子,操作兩項來組成複雜語句(P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q)。

注意,符號「與」(∧)和交集(∩),「或」(∨)和聯集(∪)的相似性。這不是巧合:交集的定義使用「與」,聯集的定義是用「或」。

這些連接符的真值表:

P Q ¬P PQ PQ PQ PQ
T T F T T T T
T F F F T F F
F T T F T T F
F F T F F T T

為了減少需要的括號的數量,有以下的優先規則:¬高於∧,∧高於∨,∨高於→。例如,P ∨ Q ∧ ¬ R → S是 (P ∨ (Q ∧ (¬ R)) → S的簡便寫法。

二元邏輯聯結詞表

下面是在輸入P和Q上的16個二元布林函數

永假
符號 等價公式 真值表 文氏圖
  P   ¬P
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    0   0 
 




永真
符號 等價公式 真值表 文氏圖
  P   ¬P
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    1   1 
 




合取
符號 等價公式 真值表 文氏圖
P   Q
P & Q
P · Q
P AND Q
P  ¬Q
¬P   Q
¬P   ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    0   1 
 




與非
符號 等價公式 真值表 文氏圖
PQ
P | Q
P NAND Q
P → ¬Q
¬PQ
¬P ∨ ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    1   0 
 




非蘊涵
符號 等價公式 真值表 文氏圖
P   Q
P   Q
P & ¬Q
¬PQ
¬P   ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    1   0 
 




蘊涵
符號 等價公式 真值表 文氏圖
PQ
P   Q
P ↑ ¬Q
¬PQ
¬P ← ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    0   1 
 




命題P
符號 等價公式 真值表 文氏圖
P
  Q
0 1
P 0    0   0 
1    1   1 
 




非P
符號 等價公式 真值表 文氏圖
¬P
~P
  Q
0 1
P 0    1   1 
1    0   0 
 




反非蘊涵
符號 等價公式 真值表 文氏圖
P   Q
P   Q
P ↓ ¬Q
¬P & Q
¬P   ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    0   0 
 




反蘊涵
符號 等價公式 真值表 文氏圖
P   Q
P   Q
P ∨ ¬Q
¬PQ
¬P → ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    1   1 
 




命題Q
符號 等價公式 真值表 文氏圖
Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    0   1 
 




非Q
符號 等價公式 真值表 文氏圖
¬Q
~Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    1   0 
 




互斥或
符號 等價公式 真值表 文氏圖
P   Q
P   Q
P   Q
P XOR Q
P ↔ ¬Q
¬PQ
¬P   ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    1   0 
 




雙條件
符號 等價公式 真值表 文氏圖
PQ
PQ
P XNOR Q
P IFF Q
P   ¬Q
¬P   Q
¬P ↔ ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    0   1 
 




析取
符號 等價公式 真值表 文氏圖
PQ
P  Q
P OR Q
P   ¬Q
¬PQ
¬P ↑ ¬Q
  Q
0 1
P 0    0   1 
1    1   1 
 




或非
符號 等價公式 真值表 文氏圖
PQ
P NOR Q
P   ¬Q
¬P   Q
¬P ∧ ¬Q
  Q
0 1
P 0    1   0 
1    0   0 
 




圖示

真值表 哈斯圖
 input Ainput Boutput f(A,B)X and ¬XA and B¬A and BBA and ¬BAA xor BA or B¬A and ¬BA xnor B¬A¬A or B¬BA or ¬B¬A or ¬BX or ¬X
 X or ¬X¬A or ¬BA or ¬B¬A or BA or B¬B¬AA xor BA xnor BAB¬A and ¬BA and ¬B¬A and BA and BX and ¬X