迪潘指標線

在微分幾何中，迪潘指標線（英語：Dupin indicatrix）是一個描述曲面局部形狀的概念。通俗來講，畫一個平行於曲面上一點P的切平面並離切平面有微小距離的平面。考慮曲面與這個平面的交線，不難發現交線的形狀與曲面在P點的高斯曲率有關。迪潘指標是平面接近切平面時極限過程的結果。該指標線的概念是19世紀法國數學家夏爾·迪潘發明的。

定義

對於方程為${\boldsymbol {r}}(u,v)$的曲面S，在曲面上一點P可作無數個法截線，每個法截線在P點的曲率為法曲率。

設$\kappa _{n}$是對應於截面方向d的法曲率，沿截面方向d作長度為${\frac {1}{\sqrt {|\kappa _{n}|}}}$的線段PN，則對所有方向d，點N的集合為曲面在P點的迪潘指標線。

迪潘指標線的方程

選取P為原點，${\boldsymbol {r}}_{u},{\boldsymbol {r}}_{v}$ 為基向量，則它們可構成曲面S在P點的切平面上的笛卡爾坐標系。設N點坐標為$(x,y)$，法截線方向d的切向量為，可得到：

$x{\boldsymbol {r}}_{u}+y{\boldsymbol {r}}_{v}={\sqrt {\frac {1}{|\kappa _{n}|}}}{\frac {\operatorname {d} \!{\boldsymbol {r}}}{|\operatorname {d} \!{\boldsymbol {r}}|}}$.

代入$\kappa _{n}={\frac {\mathrm {II} }{\mathrm {I} }}$，經過化簡有：$Lx^{2}+2Mxy+Ny^{2}=\pm 1$.

其中L, M, N 是曲面第二基本形式，以上就是迪潘指標線的方程。

應用

從迪潘指標線的方程可知其表示以P點為中心的二次曲線，因此可以由二次曲線的類別對不同的P點進行分類：

1. 如果 $LN-M^{2}>0$, 則此時迪潘指標線為橢圓，P點成為曲面的橢圓點。
2. 如果 $LN-M^{2}<0$, 則此時迪潘指標線為雙曲線，P點成為曲面的雙曲點。
3. 如果 $LN-M^{2}=0$, 則此時迪潘指標線為一隊平行直線，P點成為曲面的拋物點。
4. 如果 $L=M=N=0$, 則此時迪潘指標線不存在，P點成為曲面的平點。

參見

• 環面的迪潘指標線 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）