記數系統

記數系統（numeral system，system of numeration）又稱記數法、記數制度、數制，是使用一組數字符號來表示數的體系。記數可以俗稱為「寫數」，以區別同音詞計數。

一個理想的記數系統能夠：

有效地描述一組數（例如，整數、實數）
所有的數對應唯一的表示（至少有一個標準表示法）
反映數的代數和算術結構

記數系統可以按照以下方式分類：

按照底數區分的進位制，可分為十進制、二進制、八進制等
按照寫法，可分為中文數字、阿拉伯數字、羅馬數字等

歷史

在木頭、骨頭或石頭上的計數符號從史前時代就開始被使用了。石器時代的文化，包括古代印第安人，使用計數符號進行賭博、私人服務和交易。

在公元前8000年至前3500年間，蘇美爾人發明了使用粘土保留數字信息。他們的做法是將各種形狀的小的粘土記號像珠子一樣串在一起。從大約前3500年開始，粘土記號逐漸被數字符號取代。這些數字符號是使用圓的筆針刻在粘土塊上，然後燒制而成的。大約前3100年，數字符號與被計數的事物分離，成為抽象的符號。在前2700年至前2000年間，圓的筆針逐漸被一種尖的筆針取代，這種筆針可以在粘土上刻出楔形符號。這種楔形數字和圓形數字相似，並保留了符號數值記數法。這些記數系統逐漸演變成了一種常見的六十進制系統。這個系統是一種位置數值記數法，只使用豎向的楔形和人形兩種符號，而且能夠表示分數。這個系統在古巴比倫的初期（大約前1950年）得到了充分的發展，並成為巴比倫尼亞的標準。

上述六十進制系統是一種混合進位制系統，它的一個符號序列的不同位置上使用10和6兩個基數。這個系統被廣泛地應用於商業，同時也在天文學和其他計算中被使用。這個系統從巴比倫尼亞輸出，並傳遍了美索不達米亞，包括希臘，羅馬和埃及。今天，我們仍然用它來計算時間（1小時=60分鐘）和角度（1度=60分）。

中國古代採用算籌記數，個位百位萬位等奇數位用縱籌，偶數位用橫籌，零用空位表示。有時，軍隊人數和供給品記數採用質數的算籌，並按照模算術運算。（參看：大衍求一術，中國剩餘定理）。模算術的好處在於，儘管其加法相對困難，但乘法很容易。這使得模算術很適合軍需品的計算。在現代，同樣的模算術有時用於數位訊號處理。

羅馬帝國使用臘、紙草、和石頭上的割符，大致遵從希臘人將字母對應不同數的習慣。羅馬數字在歐洲被普遍使用，直到1500年代進位制開始流行。

中美洲的瑪雅數字採用20或18^{[來源請求]}為基數的系統，可能繼承自奧爾梅克文明，它包含了位置數值記數法和零這樣的高級屬性。他們將此用於高級的天文計算，包括高精度的太陽年長度和金星軌道的計算。

印加帝國採用奇普，一種打結的帶顏色的繩子來記數。關於使用結和顏色來編碼的知識被西班牙征服者於16世紀所擯棄，並因此失傳。今天，簡單的結繩工具仍在安地斯山脈地區使用。

有些權威認為數位算術隨著中國的算盤的廣泛使用而開始。最早的書面數位記錄似乎是大約400年的算盤計算的結果。特別在大約932年，零已被中國數學家正確地表述了，並且似乎是因為採用一個圓圈表示沒有算盤珠子的那一位而產生的。

在印度，現代數位數字系統被傳給阿拉伯人。可能是和天文表格一起，這一系統被一位印度大使在約773年帶到巴格達。對於印度的數字系統的詳細討論，參看阿拉伯數字和印度數字。^[1]

從印度出發，伊斯蘭蘇丹們和非洲的旺盛貿易將此數字系統的概念帶到了開羅。阿拉伯數學家們將此系統推廣到十進制分數。在9世紀，花拉子密寫下了關於該系統的重要著作。隨著12世紀該著作在西班牙被翻譯和斐波那契的《計算書》在1201年的出版，該系統傳入歐洲。在歐洲，完整的帶零的印度系統是於12世紀由阿拉伯人帶來的。

二進制系統由萊布尼茲在17世紀傳播，萊布尼茲在他工作的早期形成了這一概念，並在閱讀中國的《易經》再次鞏固了這一想法。由於計算機的使用，二進制系統在20世紀變得更加普遍。

常用基數

二

基數為2的系統（二進制）的流行及應用主要是因為電子計算機的發明。以2為基數，也代表只有兩種變化：不是1就是0。最初的電子計算機以開關電路組成，只有兩種狀態：開（1）及關（0），並以此引申作各種複雜的邏輯變化。而現今二進制亦普遍使用於數碼影音系統中。

八

基數8的系統（八進制）是北加利福尼亞的Yuki部落設計的，他們使用了手指間的間隔來數數。也有語言學證據顯示青銅時代印歐人（多數歐洲和印度語言來源於此）可能用基數10的系統取代了基數8系統（或者一個只能數到8的系統）。證據是代表9的詞，newm，根據一些歷史學家推測來源於「新」（'new', newo-），這表示數字9是當時最近發明的，所以稱為『新數』（'new number'） (Mallory & Adams 1997年)。

九

涅涅茨語曾經使用基數9的系統（九進制），但在俄語的影響下轉變為十進制。yúq一詞最初表示9，但在俄語影響下變成了10的意思；所以在現在的涅涅茨，9現在是xasu-yúq，也就是「涅涅茨yúq」，而10就是yúq，但在東部方言中也作lúca-yúq, 也就是「俄語yúq」。

十

十進制是今天最為常用的系統。它被視為因為人類具有十根手指而產生。

十二

基數12的系統（十二進制）曾經很流行，因為乘法和除法比十進制方便，而加法同樣簡單。12很有用，因為它有很多因子。它是1到4最小的公倍數。我們對十二有一個特殊的詞「打」(dozen)，並且使用12小時作為一個白天或者一個黑夜。十二進制來自於一隻手除了拇指以外的四個手指的指節個數，它們曾被用來記數。

十六

基數為16的系統（十六進制）曾經在中國的重量單位上使用過，比如，規定16兩為一斤。現在的16進位則普遍應用在電腦領域，這是因為將二進位數字轉化為十六進位數字非常容易，用十六進位表達數字比用二進制方便。1位元組（一個8個位的二進位數字）可以很方便的表示成一個兩個位的16進位數字。

二十

瑪雅文明和其它前哥倫布時期中美洲文明使用二十進制、因努伊特的因努伊特數字，源於人的手指和腳趾總數。

六十

基數為60的系統（六十進制）是蘇美爾人和他們在美索不達米亞的繼承者所使用的，今天還在我們的計時系統中存在（所以一小時有60分鐘而一分鐘有60秒）。60也有大量因子，包括前六個自然數。六十進制系統被認為是因為十進制和十二進制合併過程中產生的。中國曆法中，六十進制的甲子系統用於表示年，每個60年循環中的年用兩個符號代表，第一個符號是十進制的天干，第二個符號是十二進制的地支。兩個符號在後續一年中同時前進一，這樣同樣的組合在60年後再現。該系統的第二個符號也和12個動物的生肖系統對應。

進位制詳解

在「基數 $b$ 」的「位置記數系統」（其中 $b$ 是一個正自然數，叫做基數）中， $b$ 個「基本符號」（或稱數字）對應於包括0的最小 $b$ 個自然數。要產生其他的數，必須變動這些基本符號在數中的位置。最後一位的符號用它本身的值，向左一位其值乘以 $b$ 。

例如，在十進制系統中（基數10），數 4327 表示 (4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰)，注意 $10^{0}$ = 1。

一般來講，若 $b$ 是基底，我們在 $b$ 進制系統中的數表示為 $a$ ₁ $b$ ^k + $a$ ₂ $b$ ^k-1 + $a$ ₃ $b$ ^k-2 + ... + $a$ _k+1 $b$ ⁰的形式，並按次序寫下數字 $a$ ₁ $a$ ₂ $a$ ₃ ... $a$ _k+1。這些數字是 0 到 $b$ -1 的自然數。

若一段文字（譬如這段文字）討論多個基數，若有歧義時，基數（本身用十進制表示）用下標方式寫在數的右邊。除非有上下文說明，沒有下標的數字視為十進制。

通過使用一點（小數點）來將數字分成兩組，就可以用位置系統來表示小數。例如，基數-2系統 10.11 表示1×2¹+ 0×2⁰ +1×2^-1 +1×2^-2 = 2.75。

一般來講， $b$ 進制系統中的數有如下形式：

(a_{n}a_{n-1}...a_{1}a_{0}.c_{1}c_{2}c_{3}...)_{b}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}b^{-k}

數 $b^{k}$ 和 $b^{-k}$ 是相應數字的比重。

注意有一個數有一個終止或者循環若且唯若它是有理數；這不依賴於基數的選擇。在一個進制中終止的數可以在另外一個有循環小數（thus 0.3₁₀ = 0.0100110011001...₂）。一個無理數在所有進制中不循環（無窮位不循環數字）。這樣，例如二進制中，π = 3.1415926...₁₀ 可以寫作不循環的 11.001001000011111...₂。

若 $b$ = $p$ 是一個質數，可以定義其向左的擴展不停止的 $p$ 進制數字；這些數字稱為p進數(p-adic)。

進制轉換

轉換正整數的進制的有一個簡單算法，就是通過用目標基數作長除法；餘數給出從最低位開始的「數字」。例如，1020304從10進制轉到7進制：

1020304 / 7 = 145757 r 5 ↑  => 11446435
 145757 / 7 =  20822 r 3 │
  20822 / 7 =   2974 r 4 │
   2974 / 7 =    424 r 6 │
    424 / 7 =     60 r 4 │
     60 / 7 =      8 r 4 │
      8 / 7 =      1 r 1 │
      1 / 7 =      0 r 1 │

再如，10110111 從2進制到5進制：

10110111 / 101 = 100100 r 11  (3) ↑  => 1213
  100100 / 101 =    111 r  1  (1) │
     111 / 101 =      1 r 10  (2) │
       1 / 101 =      0 r  1  (1) │

轉換一個「十進制」小數，可以用重複乘法，將整數部分作為「數字」。不幸的是有限小數不一定轉換成為有限小數，例如0.1A4C從16進制轉換到9進制：

0.1A4C × 9 = 0.ECAC │
0.ECAC × 9 = 8.520C │
0.520C × 9 = 2.E26C │
0.E26C × 9 = 7.F5CC │
0.F5CC × 9 = 8.A42C │
0.A42C × 9 = 5.C58C ↓  => 0.082785...a

一般化變長整數

更一般化的有一種記法（這裡寫作小頭式），例如 $a$ ₀ $a$ ₁ $a$ ₂ 用作 $a$ ₀ + $a$ ₁ $b$ ₁ + $a$ ₂ $b$ ₁ $b$ ₂, etc.

註釋

^ David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski. The Hindu-Arabic numerals. Ginn and Company. 1911.

參考文獻

Georges Ifrah. The Universal History of Numbers : From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley, 1999. ISBN 0-471-37568-3
高德納. 《電腦程式設計藝術》. Volume 2, 3rd Ed. Addison-Wesley. pp.194–213, "Positional Number Systems".
J.P. Mallory and D.Q. Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture, Fitzroy Dearborn Publishers, London and Chicago, 1997.
A.L. Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876–1960), Handbook of the Indians of California, Bulletin 78 of the Bureau of American Ethnology of the Smithsonian Institution (1919)
Hans J. Nissen; Peter Damerow; Robert K. Englund. Archaic Bookkeeping: Early Writing and Techniques of Economic Administration in the Ancient Near East. University Of Chicago Press. 1993. ISBN 978-0-226-58659-5.
Schmandt-Besserat, Denise. How Writing Came About. University of Texas Press. 1996. ISBN 978-0-292-77704-0.
Zaslavsky, Claudia. Africa counts: number and pattern in African cultures. Chicago Review Press. 1999. ISBN 978-1-55652-350-2. nd}}

參見

外部連結

[1] David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski. The Hindu-Arabic numerals. Ginn and Company. 1911.

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