若爾當矩陣

在數學中，特別是矩陣論裡，若爾當矩陣是矩陣的一種，又稱若爾當塊（作為另一個矩陣的一部分時）。當係數取在某個環 $\displaystyle R$ 上時（其中的零元和乘法單位元分別記為0和1），若爾當矩陣可以寫成如下形式：

{\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}

其對角線上全都是同一個元素 $\displaystyle \lambda \in R$ ，而對角線上一排（即所有第 $\scriptstyle k$ 行第 $\scriptstyle k+1$ 列）都是1，其餘位置上都是0。

可以看到只要確定了對角線上的係數 $\scriptstyle \lambda$ 和矩陣的大小 $\scriptstyle n$ ，就確定了一個若爾當矩陣。這樣一個若爾當矩陣被記為 $\displaystyle J_{\lambda ,n}$ 。

如果一個分塊對角矩陣的每一個分塊都是若爾當塊，那麼這個矩陣叫做若爾當形矩陣，或若爾當標準型。例如以下矩陣：

J={\begin{bmatrix}J_{\lambda _{1},m_{1}}&0&0&\cdots &0\\0&J_{\lambda _{2},m_{2}}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&J_{\lambda _{s-1},m_{s-1}}&0\\0&0&0&0&J_{\lambda _{s},m_{s}}\\\end{bmatrix}}

以上的若爾當形矩陣也可以記成 $J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \ldots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}$

給定的一個若爾當矩陣 $\displaystyle J_{\lambda ,n}$ 可以分解為：

J_{\lambda ,n}=\lambda I_{n}+N

其中 $I_{n}$ 是n 維的單位矩陣，而N 則是一個冪零矩陣：

N={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}

矩陣N 滿足 $\displaystyle N^{n}=0$ 。

參見