狄拉克算子

在數學和量子力學中，狄拉克算子（英語：Dirac operator）是一個微分算子，它是二階微分算子（如拉普拉斯算子）的形式平方根。保羅·狄拉克研究的原始案例是形式分解閔可夫斯基空間的算子，得到一種與狹義相對論兼容的量子理論形式；為了得到由一階算子產生的拉普拉斯算子，他引入了旋量。

形式定義

一般的，令D是作用於黎曼流形M上的向量叢V的一階微分算子。如果

$D^{2}=\Delta ,\,$

其中∆是V上的拉普拉斯算子，則D被稱為狄拉克算子。

在高能物理中，這個條件經常被放鬆：只有D²的二階部分必須等於拉普拉斯算子。

例子

例1: D=-i∂_x是作用在直線上的切線叢的狄拉克算子。

例2: 我們現在考慮一個物理學中重要的簡單叢：一個限制在平面上帶有½自旋的粒子的位形空間，這也是一個基本流形。它被表示為波函數ψ: R²→C²

$\psi (x,y)={\begin{bmatrix}\chi (x,y)\\\eta (x,y)\end{bmatrix}}$

其中x和y是R²上的坐標。χ表示自旋向上粒子的概率幅，η與之類似。所謂的自旋狄拉克算子可以被寫為

$D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y},\,$

其中σ_i 是泡利矩陣。通過泡利矩陣的反對易關係可以知道上面定義的性質是顯然的。這些定義了克利福德代數的概念。

旋量場的狄拉克方程的解常被稱為調和旋量。

例3: 描述三維空間中自由費米子的傳播的狄拉克算子可以寫為

$D=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\ \equiv \partial \!\!\!/,$

其中用到費曼斜線標記。

例4: 在克利福德分析中也有狄拉克算子。 在n維歐幾里得空間中是

$D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$

其中{e_j: j = 1, ..., n}是n維歐幾里得空間的標準正交基，考慮Rⁿ嵌入一個克利福德代數。

這是阿蒂亞-辛格-狄拉克算子作用於旋量叢的特殊情形。

例5: 對於一個自旋流形，M，阿蒂亞-辛格-狄拉克算子局部定義如下：對於x∈M和M在x處的切空間的局部標準正交基e₁(x), ..., e_j(x)，阿蒂亞-辛格-狄拉克算子是

$\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)}$,

其中${\tilde {\Gamma }}$是從M上的列維-奇維塔聯絡到M上的旋量叢的提升。

推廣

在克利福德分析中，算子D: C^∞(R^k ⊗ Rⁿ,S)→C^∞(R^k ⊗Rⁿ,C^k ⊗S)作用在如下定義的旋量值函數

$f(x_{1},\ldots ,x_{k})\mapsto {\begin{pmatrix}\partial _{\underline {x_{1}}}f\\\partial _{\underline {x_{2}}}f\\\ldots \\\partial _{\underline {x_{k}}}f\\\end{pmatrix}}$

有時被稱為k克利福德變量的狄拉克算子。上面符號中，是旋量空間，S是旋量空間，$x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})$ 是n維變量，$\partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}$是狄拉克算子在第i個變量的分量。這是狄拉克算子（k=1）和杜比爾特算子（n=2，k 任意）的一般推廣。這是一個不變微分算子，在群SL(k)×Spin(n)的作用下不變。D的分解只在一些特殊情形是已知的。

另請參閱

• 狄拉克方程
• 克利福德代數
• 克利福德分析
• 聯絡
• 杜比爾特算子
• 熱核
• 旋量叢

參考資料

• Friedrich, Thomas, Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society, 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1 
• Colombo, F., I.; Sabadini, I., Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra, Birkhauser Verlag AG, 2004, ISBN 978-3-7643-4255-5