點集拓撲學

點集拓撲學(Point Set Topology),有時也被稱為一般拓撲學(General Topology),是數學拓撲學的一個分支。它研究拓撲空間以及定義在其上的數學結構的基本性質。這一分支起源於以下幾個領域:對實數軸上點集的細緻研究,流形的概念,度量空間的概念,以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已經成文化了。通過這種可以為所有數學分支適用的表述形式,點集拓撲學基本上抓住了所有的對連續性的直觀認識。

定義

拓撲是一個包含一個集合X連同和X的子集族Σ(稱為開集系)的二元組(X,Σ),它滿足如下三個公理

  1. 開集的併集是開集。
  2. 有限個開集的交集是開集。
  3. X空集∅是開集.

研究範圍

具體地說,在點集拓撲學的定義和定理的證明中使用了一些基本術語,諸如:

雖然還有其它一些更加複雜的術語,但這些術語通常都直接與這些基本術語相關,並且這些更加複雜的術語不在其他數學分支中廣泛採用。其它的一些拓撲學主要分支有代數拓撲學幾何拓撲學微分拓撲學。從這些名稱中也可以看出,點集拓撲為這些領域提供了共通的基礎。

參見

參考文獻