枚舉幾何

枚舉幾何代數幾何的一個分支,主要用相交理論計算幾何問題的解的數量。

歷史

 
阿波羅尼奧斯圓

阿波羅尼奧斯問題是枚舉幾何最早的例子之一。這個問題要求找出與3個給定圓、點或與線相切的圓的數量和構造。一般來說,3個給定圓的問題有8個解,可以看做是23個解,每個相切條件都對圓的空間施加了二次條件。然而,對於給定圓的特殊排列,解的數目也可能是0(無解)到6之間的任意整數;沒有任何一種排列有7個解。

核心工具

從初級到高級的工具包括:

枚舉幾何與相交理論關係密切。

舒伯特積分

19世紀末,枚舉幾何在赫爾曼·舒伯特手中得到了驚人的發展,[1]他為此引入了舒伯特積分,其在更廣泛的領域具有基本的幾何與拓撲學價值。直到1960、70年代,枚舉幾何的特殊需求才得到進一步關注(如Steven Kleiman指出的)。相交數已有嚴格定義(安德烈·韋伊作為其基礎課程1942–6,[2]的一部分提出),但這並沒有窮盡枚舉問題的基本領域。

修正因子與希爾伯特第15問題

正如下面的例子所示,天真地應用維數計數與貝祖定理會產生錯誤結果。為解決這些問題,代數幾何學家引入了模糊的「修正因子」,幾十年後才有嚴格證明。

例如,計與射影平面中5條給定直線相切的圓錐曲線之數。[3]它們構成維數為5的射影空間,其6個係數作為齊次坐標。若5個點處於一般的線性位置(穿過給定點會帶來線性條件),就可以確定一條圓錐曲線。同樣,與給定直線L相切(即相交,倍數為2)是個二次條件,於是 中確定了二次曲面。但由所有此類二次曲面構成的除子線性系統並非沒有基軌;事實上,每個此種二次曲面都包含委羅內塞面,參數化了圓錐曲線

 

稱作「雙線」。這是因為,雙線與平面的每條直線都相交(因為射影平面中的直線都相交),由於是二次所以倍數為2,從而滿足與直線相切的非退化圓錐相同的交點條件。

據一般貝祖定理,5維空間中的5個一般二次曲面將有 個交點,其中的相關二次曲面不在一般位置上。必須要從32中減去31,將其歸入委羅內塞面,才能得到(幾何角度的)正確答案:1。這種將交點歸為「退化」情形的過程是典型的幾何「修正因子」。

希爾伯特第十五問題便是要克服這些干涉的明顯的任意性:這方面超出了舒伯特積分本身的基礎問題。

克萊門斯猜想

1984年,赫伯特·克萊門斯研究了5次3維流形 上的有理曲線計數,提出以下猜想:

正整數 ,則在一般5次3維流形 上只有有限多條度為 的有理曲線。

此猜想 的情形已有證明。

1991年,論文[4]從弦論角度討論了 中5次3維流形的鏡像對稱,給出了在所有  上度為 的有理曲線的數量。這之前代數幾何學家只能計算 的情況。

例子

代數幾何中,歷史上重要的枚舉幾何例子包括:

  • 2 空間中4條一般直線相交的直線數
  • 8 與3個一般圓相切的圓數(阿波羅尼奧斯問題
  • 27 光滑三次曲面上的直線數(喬治·薩蒙阿瑟·凱萊
  • 2875 一般5次3維流形上的直線數
  • 3264 與一般位置的5條平面圓錐相切的圓錐曲線數 (米歇爾·沙勒
  • 609250 一般5次3維流形上的圓錐曲線數
  • 4407296 與8個一般二次曲面相切的圓錐曲線數Fulton (1984,p. 193)
  • 666841088 3維空間中與9個一般位置的給定二次曲面相切的二次曲面數(Schubert 1879,p.106) (Fulton 1984,p. 193)
  • 5819539783680 3維空間中與12個一般位置的給定二次曲面相切的扭曲三次曲面數(Schubert 1879,p.184) (S. Kleiman, S. A. Strømme & S. Xambó 1987

參考文獻

  1. ^ Schubert, H. Kalkül der abzählenden Geometrie. 18791979. 
  2. ^ Weil, Andre. Foundations of Algebraic Geometry. ISBN 9780821874622. 
  3. ^ Fulton, William. 10.4. Intersection Theory. 1984. ISBN 0-387-12176-5. 
  4. ^ * Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parks, Linda. A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal field theory. Nuclear Physics B. 1991, 359 (1): 21–74. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6. 

外部連結