斯梅爾悖論

差拓撲結構中,球面外翻(Sphere eversion)是指在三維空間中,將球面從內向外翻。值得注意的是,我們有辦法在不割開、撕裂或製造摺痕的前提下,連續且光滑地將球面由內向外翻(有可能產生自交英語Self-intersection)。 這對非數學家甚至是瞭解定期同倫英語Regular homotopy的人來說都十分意外,並可以被視為一種真詭論:乍看下是假,實際上為真。

一 Morin曲面的俯視圖

更準確地說,令

為標準嵌入,則有一個定期同倫的浸入

使得ƒ0 = ƒ 且 ƒ1 = −ƒ。

歷史

無摺痕球面外翻的存在性證明是由史蒂芬·斯梅爾於1957年率先完成。雖然已經有一些電腦動畫幫助人們想像,但很難提供這種翻轉的動畫片。第一個展示性的例子經過數位數學家的努力才完成,包括弗拉基米爾·阿諾爾德和盲人數學家伯納德·莫蘭英語Bernard Morin。另一方面,證明這樣的「翻轉」存在容易多了,這就是斯梅爾證明的事。

剛開始斯梅爾的博士指導老師拉烏爾·博特告訴他這件事顯然是錯誤的(Levy 1995)。他的推論是,映射度高斯映射必須保存在這種「翻轉」—特別地,這表示在R2沒有這種S1的翻轉。但在R3中, 嵌入f 和 −f對應的高斯映射 在 R3 都等於1,並且沒有相反的符號作猜測。 所有 R3S2的浸入,它對應的高斯映射映射度都是1,所以沒有問題。「真悖論」也許更適合用在這個級別:在斯梅爾的工作之前,沒有任何嘗試論證或反正外翻 S2的紀錄,所以歷史上並沒有關於球面外翻的紀錄,只有第一次面對視覺化球面外翻的人,所留下對其精妙之處的讚揚。

進一步的一般化在h-原理英語Homotopy principle

參考文獻