扭稜四角反角柱

扭稜四角反角柱英文:Snub square antiprism)是詹森多面體的其中一個,其所引為J85[1]。它無法由柏拉圖立體正多面體)和阿基米得立體半正多面體)經過切割、增補而得來。扭稜四角反角柱是詹森多面體中的基本立體之一。詹森多面體是凸多面體,面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體,共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森英語Norman Johnson (mathematician)(Norman Johnson)命名並給予描述[2]

扭稜四角反角柱
扭稜四角反角柱
類別詹森多面體
J84 - J85 - J86
識別
名稱扭稜四角反角柱
參考索引J85
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
snisquap
數學表示法
施萊夫利符號ss{2,8}在維基數據編輯
性質
26
40
頂點16
歐拉特徵數F=26, E=40, V=16 (χ=2)
組成與佈局
面的種類8+16個三角形
2個正方形
頂點圖8個(35)
8個(34.4)
對稱性
對稱群D4v
特性
凸多面體
圖像
立體圖

展開圖

性質

扭稜四角反角柱共由26個、40條和16頂點所組成[3][4][5]。在其26個面中,有24個三角形和2個正方形[3]。在其16個頂點中,有8個頂點是5個三角形的公共頂點[5],在頂點圖中可以用[35]來表示[6]、另外8個頂點是4個三角形和1個正方形的公共頂點[5],在頂點圖中可以用[34,4]來表示[6]

構造

形如其名地,扭稜四角反角柱可以透過將四角反角柱套用扭稜變換來構造。在施萊夫利符號中可以表示為ss{2,8},其中s{2,8}是四角反角柱[7],其中的扭稜是考克斯特扭稜;而在康威扭稜中,扭稜四角反角柱可以透過將四角錐套用康威扭稜來構造,在康威多面體表示法中可以表示為sY4[8]

體積與表面積

若一個扭稜四角反角柱邊長為 ,則其表面積 為:[9]

 [10]

而其體積 為:

 

其中 是下列多項式的最大實根:

 [11]

頂點座標

 為下列三次式的正實根,約為 

 

和h約為 

 

則邊長為2的扭稜四角反角柱的頂點座標由下列頂點的軌道的並集在繞z軸旋轉90°和繞垂直於z軸並與x軸夾角22.5°的直線旋轉180°所產生的空間對稱群群作用下給出:[12]

 

扭稜反角柱

類似的造方式之多面體還有扭稜三角反角柱(施萊夫利符號:ss{2,6})為經過扭稜變換的三角反角柱(可以視為一個對稱性較低的正八面體),其結果為偽二十面體(可以視為一個對稱性較低的正二十面體)。另一個為扭稜五角反角柱(施萊夫利符號:ss{2,10})甚至是更高邊數的扭稜反角柱,但其結果不會是由正三角形構成的凸多面體。邊數更少的扭稜二角反角柱(施萊夫利符號:ss{2,4})對應另一個詹森多面體——扭稜鍥形體,但必須在二角反角柱中保留兩個退化的對角面(以紅色繪製)。這些都可以視為一系列扭稜反角柱無窮序列的一項。[7]

扭稜反角柱
對稱性 D2d, [2+,4], (2*2) D3d, [2+,6], (2*3) D4d, [2+,8], (2*4) D5d, [2+,10], (2*5)
反角柱  
s{2,4}
A2
     
(頂點:4、 邊:8、 面:6)
 
s{2,6}
A3頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
     
(頂點:6、 邊:12、 面:8)
 
s{2,8}
A4頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
     
(頂點:8、 邊:16、 面:10)
 
s{2,10}
A5頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
     
(頂點:10、 邊:20、 面:12)
截角反角柱  
ts{2,4}
tA2
(頂點:16、邊:24、面:10)
 
ts{2,6}
tA3頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
(頂點:24、 邊:36、 面:14)
 
ts{2,8}英語truncated square antiprism
tA4頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
(頂點:32、 邊:48、 面:18)
 
ts{2,10}
tA5頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
(頂點:40、 邊:60、 面:22)
對稱性 D2, [2,2]+, (222) D3, [3,2]+, (322) D4, [4,2]+, (422) D5, [5,2]+, (522)
扭稜反角柱 J84 二十面體 J85
sY3頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) = HtA3 sY4頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) = HtA4 sY5頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) = HtA5
 
ss{2,4}
(頂點:8、 邊:20、 面:14)
 
ss{2,6}
(頂點:12、 邊:30、 面:20)
 
ss{2,8}
(頂點:16、 邊:40、 面:26)
 
ss{2,10}
(頂點:20、 邊:50、 面:32)

參見

參考文獻

  1. ^ Weisstein, Eric W. (編). Snub Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  2. ^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics英語Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 
  3. ^ 3.0 3.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism. [2022-09-07]. (原始內容存檔於2022-09-09). 
  4. ^ The snub square antiprism. qfbox.info. [2022-09-09]. (原始內容存檔於2022-09-09). 
  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Snub square antiprism. polyhedra.tessera.li. [2022-09-09]. (原始內容存檔於2022-09-09). 
  6. ^ 6.0 6.1 Richard Klitzing. snub square antiprism, snisquap. bendwavy.org. [2022-09-09]. (原始內容存檔於2022-01-25). 
  7. ^ 7.0 7.1 Jim McNeill. Snub Anti-Prisms. orchidpalms.com. [2019-09-28]. (原始內容存檔於2019-03-27). 
  8. ^ PolyHédronisme. [2022-09-09]. (原始內容存檔於2022-03-10). 
  9. ^ Wolfram, Stephen. "Snub square antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英語). 
  10. ^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"] 
  11. ^ Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x] 
  12. ^ Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 725. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0. 

外部連結